एक कक्षा में 175 छात्र हैं। इनमें गणित 100 छात्रों ने, भौतिकी 70 छात्रों ने और रसायन 46 छात्रों ने लिया है। गणित और भौतिकी 30 छात्रों ने, भौतिकी और रसायन 23 छात्रों ने, रसायन और गणित 28 छात्रों ने तथा तीनों विषय 18 छात्रों ने लिये हैं।
निम्नलिखित प्रत्येक को ज्ञात कीजिए
(i) केवल गणित लेने वाले छात्रों का संख्या।
(ii) केवल भौतिकी लेने वाले छात्रों की संख्या।
(iii) केवल रसायन लेने वाले छात्रों की संख्या।
(iv) भौतिकी और रसायन लेने वाले उन छात्रों की संख्या जिन्होनें गणित नहीं लिया है।
(v) गणित और भौतिकी लेने वाले उन छात्रों की संख्या जिन्होनें रसायन नहीं लिया है।
(vi) केवल एक विषय लेने वाले छात्रों की संख्या।
(vii) कम से कम एक विषय लेने वाले वाले छात्रों की संख्या।
(viii) कोई विषय न लेने वाले छात्रों की संख्या।

Explanation

माना `A=` गणित लेने वाले छात्रों का समुच्चय
`B=` भौतिकी लेने वाले छात्रों का समुच्चय
`C=` रसायन लेने वाले छात्रों का समुच्य्
और `U=` कक्षा में छात्रों का समुच्चय
प्रश्नानुसार `n(U)=175,n(A)=100,n(B)=70,n(C)=46,n(AnnB)=30,n(BnnC)=23,(CnnA)=28,n(AnnBnnC)=18`
(i) केवल गणित लेने वाले छात्रों की संख्या `=n(AnnB’nnC’)`
`=n[Ann(BuuC)’]`
`=n(A-n[Ann(BuuC)]`
`[ :'n(AnnB’)=n(A)-n(AnnB)]`
`=n(A)-n[(AnnB)uu(AnnC)]`
`=n(A)-[n(AnnB)+n(AnnC)-n(AnnBnnC)]`
`=100-30-28+18=60`
(ii) केवल भौतिकी लेने वाले छात्रों की संख्या
`=n(BnnA’nnC’)`
`=n(B)-[n(BnnC)+n(BnnA)-n(AnnBnnC)]`
[भाग i की भांति हल करने पर]
`=70-(23+30-18)=35`
(iii) केवल रसायन लेने वाले छात्रों की संख्या
`=n(CnnA’nnB’)`
`=n(C)-[(CnnA)+n(CnnB)-n(AnnBnnC)]`
[भाग i की भांति हल करने पर]
`=46-(28+23-18)=13`
(iv) भौतिकी और रसायन लेने वाले उन छात्रों की संख्या जिन्होनें गणित नहीं लिया है
`=n(BnnCnnA’)`
`n(BnnC)-n(BnnCnnA)`
`=23-18=5`
(v) गणित और भौतिकी लेने वाले उन छात्रों की संख्या, जिन्होनें रसायन नहीं लिया है
`n(AnnBnnC’)=n(AnnB)-n(AnnBnnC)`
`=30-18=12`
(vi) केवल एक विषय लेने वाले छात्रों की संख्या
`=n(A)+n(B)+n(C)-2n(AnnB)-2n`
`(BnnC)-2n(CnnA)+3n(AnnBnnC)`
`=100+70+46-2(30+23+28)+3xx18`
`=216-162+54=108`
(vii) कम से कम एक विषय लेने वाले छात्रों की संख्या
`n(AuuBuuC)=n(A)+n(B)+n(C)=n(AnnB)`
`-n(BnnC)-n(CnnA)`
`+n(AnnBnnC)`
`=100+70+46-(30+23+28)+18`
`=234-81`
`=153`
(viii) कोई विषय न लेने वाले छात्रों की संख्या
`=n(U)-n(AuuBuuC)`
`=175-153=22`
दूसरी विधि- यहां `M=` गणित लेने वाले छात्रों का समुच्चय, `P=` भौतिकी लेने वाले छात्रों का समुच्चय `C=` रसायन लेने वाले छात्रों का समुच्चय है। संलग्न वेन आरेख पर विचार करते हैं

`n(M)=a+b+d+e=100`
`n(P)=b+c+e+f=70`
`n(C)=d+e+f+g=46`
`n(MnnP)=b+e=30`
`n(PnnC)=e+f=23`
`n(MnnC)=d+e=28`
`n(MnnPnnC)=e=18`
`n(U)=a+b+c+d+e+f+g+h=175`
हल करने पर
`e=18`
`d+18=28impliesd=10`
`18+f=23impliesf=i5`
`b+18=30impliesb=12`
`n(C)=d+e+f+g=46`
`implies10+18+5+g=46`
`impliesg=13`
`n(P)=b+c+e+f=70`
`implies12+c+18+5=70`
`impliesc=35`
`n(M)=a+b+d+e=100`
`impliesa+12+10+18=100`
`a=60`
और `n(U)=a+b+c+d+e+f+g+h=175`
`=60+12+35+10+18+5+13+h=175`
`impliesh=22`
अब (i) केवल गणित लेने वाले छात्रों की संख्या `=a=60`
(ii) केवल भौतिकी लेने वाले छात्रों की संख्या `=c=35`
(iii) केवल रसायन लेने वाले छात्रों की संख्या `=g=13`
(iv) भौतिकी और रसायन लेने वाले उन छात्रों की संख्या, जिन्होनें गणित नहीं लिया है `=f=5`
(v) गणित और भौतिकी लेने वाले उन छात्रों की संख्या जिन्होनें रसायन नहीं लिया है `=b=12`
(vi) केवल एक विषय लेने वाले छात्रों की संख्या
`=a+c+g`
`=60+35+13=108`
(vii) कम से कम एक विषय लेने वाले छात्रों की संख्या
`a+b+c+d+e+f+g`
`=60+12+35+10+18+5+13`
`=153`
(viii) कोई विषय न लेने वाले छात्रों की संख्या `=h=22`.