ज्ञात कीजिए कि निम्नलिखित में से प्रत्येक कथन सत्य है या असत्‍य है। यदि सत्य है तो उसे सिद्ध कीजिए । यदि असत्य है तो एक उदाहरण दीजिए।
(i) यदि `x epsilonA` तथा `A epsilonB,` तो `x epsilonB`
(ii) यदि `AsubB` तथा `B epsilon`, तो `A epsilon`
(iii) यदि `A subB` तथा `BsubC` तो `AsubC`
(iv) यदि `Acancel(sub)B` तथा `Bcancel(sub)C` तो `A cancel(sub)C`
(v) यदि `x epsilonA` तथा `Acancel(sub)B` तो `x epsilonB`
(vi) यदि ` AsubB` तथा `x !inB`, तो `x!inA`

Explanation

(i) कथन यदि `x epsilonA` तथा `A epsilonB` तो `x epsilonB` असत्य है।
उदाहरणः माना कि `A={2}` और `B={{2},{3}`
स्पष्ट है `2 epsilonA` और `A epsilonB` परंतु `A!inB`
(ii) कथन, यदि `A subB` तथा `B epsilon` तो `A epsilonC` असत्य है ।
उदाहरणः माना कि `A={1},B={1,2}` तथा `C={{1,2},3,4}`
स्पष्ट है कि `AsubB` और `B epsilonC` परंतु `A!inC`
(iii) कथन, यदि `AsubB`तथा `BsubC` तो `AsubC` सत्य है।
माना `xepsilonA`
`:.AsubB` और `x epsilonA` तब `x epsilonB`
परंतु `BsubC` और `x epsilonB` तब `x epsilonC`
`:'x epsilonimpliesx epsilonC`
`:.AsubC`
अतः यदि `AsubB` और `BsubC` तो `AsubC`
(iv) कथन यदि `Acancel(sub)B` तथा `Bcancel(sub)C` तो `AsubC` असत्य है।
उराहरणः माना `A={1,2},B={3,4}` और `C={1,5}`
तब A के अवयव 1 व 2, B में नहीं है जिससे `Acancel(sub)B`
और `B` के अवयव 3 व 4, `C` में नहीं हैं जिससे `Bcancel(sub)C`
परंतु `A` का अवयव 2, `C` का अवयव नहीं हैं जिससे `Acancel(sub)C`
(v) कथन, यदि `x epsilonA` और `Acancel(sub)B`, तो `x epsilonB` असत्य है।
उदाहरणः माना `A={1,2}` और `B={2,3,4}`
स्पष्ट है कि `1epsilonA` और `Acancel(sub)B` तब `1 !inB`
(vi) कथन, यदि `AsubB` और `x !inB` तो `x !inA` सत्य है।
अर्थात `A` के सभी अवयव B के भी अवयव हैं।
अर्थात यदि कोई अवयव B में नहीं है तो वह A में भी नहीं होगा।
अर्थात `x !inBimpliesx!inA`
अतः यदि`AsubB` तथा `x !inB` तो `x!inA`
अतः यदि `AsubB` तथा `x!inB` तो `x!inA`