निम्नलिखित को धुवीय रूप में परिवर्तित कीजिए।
(i) `(1 + 7i)/((2-i)^(2))` (ii) `(1 + 3i)/(1 -2i)`

Explanation

(i) `(1+7i)/((2-i)^(2))=(1+7i)/(4+i^(2)-4i)=(1+7i)/(3-4i)`
`=(1+7i)/(3-4i)xx(3+4i)/(3+4i)`
`=(3+4i+21i+28i^(2))/(9-16i^(2))`
`=(3+25i-28)/(9+16)`
`=(-25+25i)/(25) =-1+i`
तब माना की दिया हुआ व्यंजक
`(1+7i)/((2-i)^(2))` या `-1+i=r(cos theta+i sin theta)`
`implies r cos theta=-1` और `r sin theta=1`
`implies r^(2) cos^(2) theta+r^(2) sin^(2) theta=(-1)^(2)+(1)^(2)=1+1`
`implies r^(2)=2 implies r=sqrt(2)`
और `(r sin theta)/(r cos theta) =1/(-1)`
`implies tan theta=-1 =-"tan" pi/4`
`=tan (pi-pi/4)` (`:'` द्वितीय चतुर्थांश में `cos` और `tan` ऋणात्मक होते हैं।)
`implies theta=(3pi)/4`
अतः `(1+7i)/((2-i)^(2))=sqrt(2) ["cos" (3pi)/4+i"sin"(3pi)/4]`
(ii) दिया हुआ व्यंजक `(1+3i)/(1-2i) =(1+3i)/(1-2i) xx (1+2i)/(1+2i)`
`=(1+2i+3i+6i^(2))/(1^(2)-4i^(2))`
`=(1+5i+6xx(-1))/(1-4(-1))`
`=(-5+5i)/5=-1+i`
तब माना की दिया हुआ व्यंजक
`(1+3i)/(1-2i)` या `(-1+i)=r (cos theta+i sin theta)`
`:. r cos theta=-1` ...(1)
`r sin theta=1` ...(2)
समीकरण (1) और (2) वर्ग को जोड़ने पर
`r^(2) cos^(2) theta+r^(2) sin^(2) theta=(-1)^(2)+(1)^(2)`
`implies r^(2)=2`
`implies r=sqrt(2)`
समीo (ii) को (i) से भाग करने पर
`(r sin thetacos theta)=1/(-1)`
`implies tan theta=-1 =-"tan" pi/4=(tan pi-pi/4)`
`implies theta=(pi-pi/4)` ( `:'` द्वितीय चतुर्थाश में `cos` ऋणात्मक तथा `sin` घनात्मक है।)
`implies theta=(3pi)/4`
`:.` दी गई सम्मिश्र संख्या का ध्रुवीय रूप
`=sqrt(2)("cos"(3pi)/4+i "sin" (3pi)/4)`