किसी समतल में 12 बिंदु है जिनमें से 5 एक सरल रेखा में है तथा शेष बिन्दुओ में से कोई भी तीन बिंदु एक सरल रेखा में नहीं है । ज्ञात कीजिए कि इन 12 बिन्दुओ को मिलाने पर
(i) कितनी सरल रेखाएँ बनाई जा सकती है ?
(ii) कितने त्रिभुज बनाए जा सकते है ?

Explanation

(i) समतल में किन्ही 2 बिंदुओं को मिलाने पर एक सरल रेखा प्राप्त होती है ।
12 बिंदुओं में से किन्ही 2 बिंदुओं को मिलाने पर प्राप्त सरल रेखाओं की संख्या `=.^(12)C_(2)`
परन्तु 5 समरेखीय बिंदुओं से केवल एक सरल रेखा प्राप्त होगी ।
यदि ये 5 बिंदु समरेखीय नहीं होते , तो इनसे बनी सरल रेखाओं की संख्या ` = .^(5)C_(2)` होती ।
अतः अभीष्ट संख्या ` = .^(12)C_(2) - .^(5)C_(2) + 1`
` = 66 - 10 + 1 = 57`
(ii) 12 बिंदुओं में से 3 बिंदुओं को मिलाने पर प्राप्त त्रिभुजों की संख्या ` = .^(12)C_(3)`
यदि 5 बिंदु समरेखीय नहीं होते तो इनसे प्राप्त त्रिभुजों की संख्या ` = .^(5)C_(3)`
`:. ` त्रिभुजों की अभीष्ट संख्या ` = .^(12)C_(3) - .^(5)C_(3)`
` = 220 - 10 = 210`