सिद्ध कीजिए की किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल अक्षों के रूपान्तरण से अपरिवर्तित रहता है ।

Explanation

माना `DeltaABC` के शीर्ष `A(x_(1),y_(1)),B(x_(2),y_(2))` और `C(x_(3),y_(3))` है।
`:. DeltaABC` का क्षेत्रफल
`Delta(1)/(2)[x_(1)(y_(2)-y_(3))+x_(3)(y_(3)-y_(1))+x_(3) (y_(1)-y_(2))]`
माना मूलबिन्दु को बिन्दु (h,k) पर स्थानान्तरित किया जाता है।
अब शीर्षों के नये निर्देशांक
`A(x_(1)- h,y_(1),-k), B (x_(2)h,y_(2)-k),C(x_(3)-h,y_(3)-k)Delta`का क्षेत्रफल
`Delta_(1) = 1/2[{:((x_(1)-h){(y_(2)-k)-(y_(3)-k)}),(" "+(x_(2)-h){(y_(3)-k)-(y_(1)-k)}),(" "+(x_(3)-h){(y_(1)-k)-(y_(2)-k)}):}] `
`= 1/2 [{:((x_(1)-h)(y_(2)-y_(3))+(x_(2)-h)(y_(3)-y_(1))),(" "+(x_(3)-h)(y_(1)-y_(2))):}]`
`= 1/2 [{:(x_(1)(y_(2)-y_(3))+x_(2)(y_(3)-y_(1))+x_(3)(y_(1)-3)),(" "-h(y_(2)-y_(3)+y_(3)-y_(1)+y_(1)-y_(2))):}]`
`= 1/2 [x_(1)(y_(2)-y_(3))+x_(2)(y_(3)-y_(1))+x_(3))(y_(1)-y_(2)]`
`Delta` [समीकरण (1) से]
अतः त्रिभुज का क्षेत्रफल अक्षों के रूपान्तरण से अपरिवर्तित रहता है।