यदि तीन रेखायें जिनके समीकरण `y=m_(1)x+c_(1), y=m_(2)x+c_(2)` और `y=m_(3)x+c_(3)` है, संगामी है तो दिखाइए की `m_(1)(c_(2)-c_(3))+m_(2)(c_(3)-c_(1))+m_(3)(c_(1)-c_(2))=0`.

Explanation

दी रेखाय
`{:(m_(1)x-y+c_(1)=0,....(1)),(m_(2)x-y+c_(2)=0,....(2)),(m_(3)x-y+c_(3)=0,....(3)):}`
समीकरण (1) से (2) को घटाने पर
`(m_(1)-m_(2))x+c_(1)-c_(2)=0`
`rArr x=-(c_(1)-c_(2))/(m_(1)-m_(2))......(4)`
समीकरण (2) से (3) को घटाने पर
`(m_(2)-m_(3))x+c_(2)-c_(3)=0`
`rArr x=-(c_(2)-c_(3))/(m_(2)-m_(3))....(5)`
`:.` दी रेखाएं संगामी है।
`:.` समीकरण (4) और (5) में x के मान समान होंगे।
`:. -(c_(1)-c_(2))/(m_(1)-m_(2))=-(c_(2)-c_(3))/(m_(2)-m_(3))`
`rArr (c_(1)-c_(2))/(m_(1)-m_(2))=(c_(2)-c_(3))/(m_(2)-m_(3))`
`rArr m_(1)(c_(2)-c_(3))-m_(2)(c_(2)-c_(3))`
`m_(2)(c_(1)-c_(2))-m_(3)(c_(1)-c_(2))`
`rArr m_(1)(c_(2)-c_(3))-m_(2)(c_(2)-c_(3))-m_(2)(c_(1)-c_(2))+m_(3)(c_(1)-c_(2))=0`
`rArr m_(1)(c_(2)-c_(3))+m_(2)(-c_(2)+c_(3)-c_(1)+c_(2))+m_(3)(c_(1)-c_(2))=0`
`rArr m_(1)(c_(2)-c_(3))+m_(2)(c_(3)-c_(1))+m_(3)(c_(1)-c_(2))=0`