सिद्ध कीजिए कि वृत्तों
` x^(2) + y^(2) = 1 `,
` x^(2) + y^(2) - 2x - 6y` और
`x^(2) + y^(2) - 4x - 12 y - 9 = 0 `
कि त्रिज्याएँ समान्तर श्रेणी में है।

Explanation

वृत्त ` x^(2) + y^(2) = 1` के लिये

त्रिज्या `r_(1) = sqrt(1) = 1` मात्रक

वृत्त `x^(2) + y^(2) - 2x - 6y = 6` के लिए

` x^(2) + y^(2) - 2x - 6y - 6 = 0 `

चूंकि वृत्त का व्यापक समीकरण

`x^2+2gx+y^2+2fy+c=0`

`2g_(2) = - 2, 2f_(2) = - 6, c_(2) = - 6 `

`therefore g_(2) = - 1, f_(2) = - 3, c_(2) = - 6 `

और त्रिज्या ` r_(2) = sqrt(g_(2)^(2) + f_(2)^(2) - c) `

` sqrt(1 + 9 + 6 )`

` = sqrt(16) = 4 ` मात्रक

और वृत्त ` x^(2) + y^(2) - 4x - 12 y - 9 = 0 ` के लिए

` 2g_(3) = - 4, 2f_(3) = - 12, c_(3) = 9 `

` rArr g_(3) = - 2 , f_(3) = - 6, c_(3) = - 9 `

` therefore r_(3) = sqrt( g_(3)^(2) + f_(3)^(2) - c_(3))`

` = sqrt(4 + 36 + 9 ) = sqrt(49) = 7 ` मात्रक

अब `r_(1) + r_(3)= 1 + 7 = 8 `

`2 r_(2)=2xx4=8`

अतः `r_2 = (r_1+r_3)/2`

` therefore r_(1), r_(2), r_(3)` समान्तर श्रेणी में है।