यदि वृत्त `x^(2) + y^(2) + 2gx + 2fy = 0 `
और ` x^(2) + y^(2) + 2g 'x + 2f ' y = 0 ` एक -दूसरे को स्पर्श करे तो सिद्ध
कीजिए की f' g = fg'

Explanation

वृत्त `x^(2) + y^(2) + 2gx + 2fy = 0 ` का केन्द्र ` P_(1) (-g , -f)`
और त्रिज्या `r_(1) = sqrt(g^(2) + f^(2))` है |
इसी प्रकार वृत्त `x^(2) + y^(2) + 2g ' x + 2f ' y = 0 ` का केन्द्र
`P_(2) (-g', -f) "और त्रिज्या " r_(2) = sqrt( (g')^(2) + (g')^(2))` है|
दोनों वृत्त एक - दूसरे को स्पर्श करेंगे यदि
` P_(1) P_(2) = r_(1) + r_(2)`
`rArr sqrt((-g + g ')^(2) + (-f + f')^(2))`
`sqrt(g^(2) + f^(2)) + sqrt((g')^(2) + (f')^(2))`
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर
`(g + g')^(2) + (-f + f')^(2) = (g^(2) + f^(2)) + {(g')^(2)+ (f')^(2)} + 2 sqrt(g^(2) + f^(2)) sqrt((g')^(2) + (g')^(2))`
`rArr - 2gg' - 2 ff' = 2 sqrt(g ^(2) + f^(2)) sqrt((g')^(2) + (f')^(2))`
`rArr -(gg' - ff') = sqrt((g ^(2) + f^(2)) {(g')^(2) + (f')^(2)})`
पुनः दोनों पक्षों का वर्ग करने पर
` g^(2) (g')^(2) + f^(2) (f')^(2) + 2g fg ' f' `
` = g^(2) (g')^(2) + g^(2) (f')^(2) + f^(2) (g')^(2) f^(2) (f')^(2)`
`rArr g^(2) (f')^(2) + f^(2) (g')^(2) - 2g f g' f ' = 0 `
` rArr (f g' = f' g)^(2) = 0 `
` rArr f g ' f' g = 0 `
` rArr f g ' = f ' g ` .