निम्नलिखित कथन की वैधता की जाँच कीजिये
"पूर्णांक x विषम है यदि और केवल यदि `x^2` विषम है

Explanation

माना p : पूर्णांक x विषम है
q : पूर्णांक `x^2` विषम है
'p यदि केवल यदि q' को सत्य प्रमाणित करने के लिए निम्नलिखित कथनो की जांच करते है
(ii) यदि p तो q
(ii) यदि q तो p
(ii) x विषम है , तो माना x = 2m + 1 जहाँ m पूर्णांक है
`rArr" " x^2=(2m+1)^2`
`=4m^2+4m+1`
`=2(2m^2+2m)+1`
`rarr x^2` विषम है
`therefore` यदि p तो q सत्य है
यदि q तो p' को सिद्ध करने के लिए हम प्रतिधानात्मक विधि का प्रयोग करेगे
माना x सम है
`rArr" " x=2n` किसी पूर्णांक n के लिए
`rArr" "x^2=4n^2`
`rArr x^2` एक सम पूर्णांक है
`rArr x^2` एक विषम पूर्णांक नहीं है
`thereforex` विषम नहीं है
`rArrx^2` विषम नहीं है
`therefore` "यदि q तो p" सत्य है
इस प्रकार 'p यदि और केवल यदि q' सत्य है