माना `alpha,beta` वास्तविक हैं तथा z एक सम्मिश्र संख्या है
यदि `z^(2)+``alpha``z+beta=0` के रेखा Re z = 1 पर दो विभिन्न मूल हैं, तो यह अनिवार्य है कि

Options

A. `beta in (-1,0)`
B. `|beta|=1`
C. `beta in (1,oo)`
D. `beta in (0,1)`

Answer

C

Explanation

`:' z = x + iy`
दिया है ,
` z^(2) + alphaz + beta = 0`
` rArr (x + iy)^(2) + alpha(x + iy) + beta = 0`
` rArr x^(2) - y^(2) + 2ixy + alpha x + ialphay + beta = 0`
`:' i^(2) = - 1`
` rArr (x^(2) - y^(2)+ alpha x + beta) + (2xy+alphay) i = 0`
तुलना करने पर ,
` x^(2) - y^(2) + ax + beta = 0 "तथा " 2xy + alphay = 0`
` rArr x^(2) - y^(2) + ax + beta = 0 "तथा " (2x + alpha) y = 0`
` [:' //y ne 0]`
`rArr x^(2) - y^(2) + alphax + beta = 0 "तथा " 2x + alpha = 0`
` rArr x^(2) - y^(2) + alpha x + beta = 0 "तथा " alpha = - 2x`
` rArr x^(2) - y^(2) + alphax + beta = 0`
` re(z) = [:' x = 1]`
` 1- y^(2) - 2 + beta = 0 " " [:' x = 1, alpha = - 2]`
` rArr beta = y^(2) + 1`
` rArr in (1, infty)[:' y^(2) ge 0 rArr y^(2) + 1 gt 1]`