सरल रेखाओं `(m^(2)-mn)y=(mn+n^(2)) x+n^(3)` और `(mn+m^(2))y=(mn-n^(2)) x+m^(3)`, जहाँ `m gt n` है, के बीच का कोण क्या है ?

Options

A. `tan^(-1)((2mn)/(m^(2)+n^(2)))`
B. `tan^(-1)((4m^(2)n^(2))/(m^(4)-n^(4)))`
C. `tan^(-1)((4m^(2)n^(2))/(m^(4)+n^(4)))`
D. `45^(@)`

Answer

B

Explanation

दी गई सरल रेखाओं का समीकरण
`(m^(2)-m m)y=(mn+n^(2))x+n^(3)`
तथा `(mn+m^(2))y=(mn-n^(2))x+m^(3)`
रेखाओं की समीकरण को इस प्रकार लिखने पर,
`y=(mn+n^(2))/(m^(2)-mn)x+(n^(3))/(m^(2)-mn)`
तथा `y=(mn-n^(2))/(mn+m^(2))x+(m^(3))/(mn+m^(2))`
माना `m_(1)` तथा `m_(2)` दोनों रेखाओं की ढाल है
`:.m_(1)=(mn+n^(2))/(m^(2)-mn)`
तथा `mg=(mn-n^(2))/(mn+m^(2))`
यदि दोनों रेखाओं के बीच कोण `theta` हो, तो
`tan theta=(m_(1)-m_(2))/(1+m_(1)m_(2))`
`=((mn+n^(2))/(m^(2)-mn)-(mn-n^(2))/(mn+m^(2)))/(1+(mn+n^(2))/(m^(2)-mn).(mn-n^(2))/(mn+m^(2)))`
`=((mn+n^(2))(mn+m^(2))-(mn-n^(2))(m^(2)-mn))/((m^(2)-mn)(mn+m^(2))+(mn+n^(2))(mn-n^(2)))`
`=(m^(2)n^(2)+m^(3)n+mn^(3)+m^(2)n^(2)-m^(3)n+m^(2)n^(2)+m^(2)n^(2)-mn^(3))/(m^(3)n+m^(4)-m^(2)n^(2)-m^(3)n+m^(2)n^(2)-mn^(3)+mn^(3)-n^(4))`
`=(4m^(2)n^(2))/(m^(4)-n^(4))`
`:.theta=tan^(-1)((4m^(2)n^(2))/(m^(4)-n^(4)))`