मूल-बिन्दु से होकर गुजरने वाला नियत (अचर) त्रिज्या r का एक गोला निर्देशांक अक्षों को A , B और C पर काटता है । त्रिभुज ABC के केन्द्रक का बिन्दुपथ क्या है ?

Options

A. `x^(2)+y^(2)+z^(2)=r^(2)`
B. `x^(2)+y^(2)+z^(2)=4r^(2)`
C. `9(x^(2)+y^(2)+z^(2))=4r^(2)`
D. `3(x^(2)+y^(2)+z^(2))=2r^(2)`

Answer

C

Explanation

माना बिन्दु A(a,0,0),B(0,b,0)और C(0,0,c)
A,B,C से गुजरने वाले गोले का समीकरण
`x^(2)+y^(2)+z^(2)-ax-by-cz=0`
`:.` त्रिज्या `=r=sqrt((a^(2))/(4)+(b^(2))/(4)+(c^(2))/(4))`
`rArr 4r^(2)=a^(2)+b^(2)+c^(2)` ...(i)
माना त्रिभुज का केन्द्रक `(alpha, beta, gamma)` है
`:.alpha=(a+0+0)/(3), beta=(0+b+0)/(3), gamma(0+0+c)/(3)`
`rArr a=3 alpha, b=3beta, c=3gamma` ...(ii)
समी (i) व (ii) से,
`(3alpha)^(2)+(3beta)^(2)+(3gamma)^(2)=4r^(2)`
`rArr 9(alpha^(2)+beta^(2)+gamma^(2))=4r^(2)`
`:.DeltaABC` के केन्द्रक का बिन्दुपथ
`9(x^(2)+y^(2)+z^(2))=4r^(2)`