एक समलम्ब की तीन भुजाएँ बराबर है और इनमे से प्रत्येक की लम्बाई 6 सेमी है । मान लीजिए `alpha in (0, (pi)/(2))` संलग्न भुजाओं के एक युग्म के बीच का कोण है ।
यदि समलम्ब का क्षेत्रफल सम्भावित अधिकतम है, तो `alpha ` किसके बराबर है ?

Options

A. `(pi)/(6)`
B. `(pi)/(4)`
C. `(pi)/(3)`
D. `(2pi)/(5)`

Answer

C

Explanation

`:.` क्षेत्रफल `=A=1/2(6+6+2x)sqrt(36-x^(2))`
`=(6+x)sqrt(36-x^(2))`
`:.(d(A))/(dx)=(d)/(dx)[(6+x)sqrt(36-x^(2))]`
`=(6+x)[(-2x)/(2sqrt(36-x^(2)))]+sqrt(36-x^(2))`
`=sqrt(36-x^(2))-(x(6+x))/(sqrt(36-x^(2)))`
`=(36-6x-2x^(2))/(sqrt(36-x^(2)))`
अधिकतम क्षेत्रफल के लिए,
`(dA)/(dx)=0`
`rArr 36-6x-2x^(2)=0`
`rArr2x^(2)+6x-36=0`
`rArrx^(2)+3x-18=0`
`rArrx^(2)+6x-3x-18=0`
`rArr x(x+6)-3(x+6)=0`
`rArr(x+6)(x-3)=0`
`rArr x=3, -6`
पुनः अवकलन करने पर,
`(-6-4x)sqrt(36-x^(2))`
`(d^(2)A)/(dx^(2))=-((-(36-6x-2x^(2))(-2x))/(2sqrt(36-x^(2))))/((36-x^(2)))`
`x=3` पर `(d^(2)A)/(dx^(2))=-6-12=-18`
`:.(d^(2)A)/(dx^(2))lt0`
`:.x=3`अधिकतम मान
अब, `cos alpha =x/6=3/6=1/2`
`rArr cos alpha = cos . pi/3`
`rArr alpha = pi/3`