एक कण, जिसके स्थिति सदिश r के X, Y, Z अक्षों के अनुदिश अवयव क्रमशः x, y , z हैं, और रेखीय संवेग सदिश P के अवयव `p_x, p_y, p_z` हैं, के कोणीय संवेग L के अक्षों के अनुदिश अवयव ज्ञात कीजिए। दर्शाइए, कि यदि कण केवल x-y तल में ही गतिमान हो, तो कोणीय संवेग का केवल z अवयव ही होता है।

Explanation

माना कण की स्थिति सदिश तथा संवेग सदिश `vecr` तथा संवेग सदिश `vec p` के xyz अक्षों में अवयव क्रमशः
`vec r = xhati + y hatj + z har k`
तथा `vec p = p_x hati + p_y hatj + p_z hatk`
परिभाषा अनुसार कण का कोणीय संवेग `vecL = vec r xx vec p`
` = (x hati + y hatj + zhatk)xx(p_xhati+p_zhatj+p_zhatk)`
` =|{:(hati, hatj, hatk),(x, y, z), (p_x, p_y, p_z):}|`
` = hati (yp_z - zp_y) - hatj(zp_z-zp_x) + hatk(xp_y - yp_x)`
` vec L = hati (yp_z - zp_y) + hat j (z p_x - xp_z) + hatk(xp_y-yp_x) " ...(i)`
x, y तथा z के अवयवों में कोणीय संवेग `vecL` को लिखने पर,
`vecL = L_x hati +L_y hatj + L_zhatk " "....(ii)`
समीकरण (i) व (ii) की तुलना करने पर,
`{:(L_x,=,yp_z,-,zp_y), (L_y, = , zp_x, -, xp_z), (L_z, =, xp_y , - , yp_x):}}`
चूँकि कण केवल x-y तल में ही गतिमान है इसलिये z = 0 तथा `p_z = 0`
`therefore L_x = 0, L_y = 0 "तथा" L_z = xp_y - yp_x`
अतः `vecL = (xp_y - yp_x) hatk`