एक ठोस गोला, भिन्न नति के दो आनत तलों पर एक ही ऊंचाई से लढकने दिया जाता है। (a) क्या वह दोनों बार समान चाल में तली में पहुँचेगा? (b) क्या उसको एक तल पर लुढ़कने में दूसरे से अधिक समय लगेगा? (c) यदि हाँ, तो किस पर और क्यों?

Explanation

(a) यदि ठोस गोले का द्रव्यमान तथा विज्या क्रमशः M तथा R हैं तथा दो आनत तलों की ऊँचाई 7 समान है, तो व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण, `I = 2/5MR^2`
यदि आनत के तल पर गोले की रेखीय चाल v तथा कोणीय चाल `omega` है, तो ऊर्जा संरक्षण के नियमानुसार,
गतिज ऊर्जा में वृद्धि = स्थितिज ऊर्जा में कमी
`1/2Mv^2 + 1/2 Iomega^2 = Mgh`
`1/2 Mv^2 + 1/2 (2/5 MR^2) (v/R)^2 = Mgh (therefore omega - v/R)`
`1/2 Mv^2 + 1/5 Mv^2 = Mgh`
`v = sqrt((10gh)/(7))`
चूँकि आनत तलों की ऊँचाई 1 समान है। अतः ठोस गोला आनत तलों की तली पर समान वेग से पहुँचेगा।
(b) तथा (c) गोले के द्रव्यमान केन्द्र का त्वरण,
`a = (Mgsintheta)/(M+ I//R^2)`
`a = (Mg sin theta)/(M+2/5 (MR^2)/(R^2))`
`= 5/7 g sin theta`
इसलिये ` a_1 = 5/7 g sin theta_1" तथा " a_2 = 5/7 g sin theta_2`
माना गोले को तली तक पहुँचने में `t_1 " तथा " t_2` समय लगता है, तो सूत्र (v = u + at) से, ` t = v/a`
परन्तु दोनों स्थिति में । समान है `therefore t prop 1/a`
` t_1/t_2 = (sin theta_2)/(sin theta_1)`
यदि `theta_2 gt theta_1` है, तो ` sin theta_2 gt sin theta_1 " या " t_1 gt t_2`
अतः गोला कम कोण के आनत तल पर लुढ़कने में अधिक समय लेता है।