दो चक्रिकाएँ जिनके अपने-अपने अक्षों (चक्रिका के अभिलंबवत् तथा चक्रिका के केन्द्र से गुजरने वाले) के परितः जड़त्व आघूर्ण `I_1` तथा `I_2` हैं और जो `omega_1` तथा `omega_2` कोणीय चालों से घूर्णन कर रही हैं, को उनके घूर्णन अक्ष संपाती करके आमने-सामने लाया जाता है। (a) इस दो चक्रिका निकाय की कोणीय चाल क्या है? (b) यह दर्शाइए कि इस संयोजित निकाय की गतिज ऊर्जा दोनों चक्रिकाओं की आरंभिक गतिज ऊर्जाओं के योग से कम है। ऊर्जा में हुई इस हानि की आप कैसे व्याख्या करेंगे? `omega_1 ne omega_2` लीजिए।

Explanation

(a) दोनों चक्रिकाओं का कुल कोणीय संवेग `L = L_1 + L_2`
`I_1 omega_1 + I_2omega_2 " "......(i)`
जब दोनों चक्रिकाओं को सम्पर्क में लाया जाता है, तो जड़त्व आघूर्ण `I_1 +I_2` तथा कोणीय `omega` चाल होती है।
कुल कोणीय संवेग `L' = (I_1 +I_2)omega` संवेग संरक्षण के नियमानुसार,
L = L'
`I_1 omega_1 + I_2 omega_2 = (I_1 + I_2) omega`
`omega = (I_1 omega_1 +I_2omega_2)/(I_1 +I_2) " ".....(ii)`
(b) चक्रिकाओं की कुल गतिज ऊर्जा `K_1 = 1/2 I_1 omega_1^2 + 1/2 I_2omega_2^2`
निकाय की अन्तिम गतिज ऊर्जा `K_2 = 1/2 (I_1 +I_2) omega^2`
`K_2 = 1/2 (I_1 + I_2) [ (I_1omega_1 + I_2omega_2)/(I_1+I_2)]^2 " " ` [ समीकरण (ii) से ]
अब गतिज ऊर्जा में परिवर्तन `Delta K = K_1 - K_2`
` = 1/2 I_1 omega_2 + 1/2 I_2 omega_2^2 - 1/2 ((I_1 omega_1 + I_2 omega_2)^2)/(I_1 +I_2)`
`= (1)/(2(I_1 +I_2) [ I_1 omega_1^2 + I_2 omega_2^2) (I_1 +I_2) - ( I_1 omega_1 + I_2 omega_2^2)]`
`=(1)/(2(I_1+I_2)) [ I_1 I_2 omega_1^2 + I_1 I_2 omega_2^2 - 2 I_1 I_2 omega_1 omega_2]`
`Delta K = 1/2 (I_1 I_2 (omega_1 - omega_2)^2)/((I_1+I_2))`
चूंकि `omega_1 ne omega_2` है। इसलिये `(omega_1 - omega_2)^2` धनात्मक होगा जो यह दर्शाता है कि यहाँ गतिज ऊर्जा में हानि हुई है। गतिज ऊर्जा में यह हानि डिस्कों के बीच लगे घर्षण बलों के कारण होती है।