10 सेमी त्रिज्या की कोई ठोस चक्रिका तथा इतनी ही त्रिज्या का कोई छल्ला किसी क्षैतिज मेज पर एक ही क्षण 10`pi` रेडियन/सेकण्ड की कोणीय चाल से रखे जाते हैं। इनमें से कौन पहले लोटनिक गति आरम्भ कर देगा। गतिज घर्षण गुणांक `mu_K` = 0.2।

Explanation

प्रश्नानुसार, प्रारम्भिक कोणीय चाल `omega_0 = 10 pi ` रेडियन /सेकण्ड।
यदि मंदन के बाद कोणीय चाल , तथा चक्रिका का द्रव्यमान तथा त्रिज्या क्रमशः m तथा R हैं तथा द्रव्यमान केन्द्र की चाल `v_c` एवं त्वरण a है, तो
` f_k = ma = mu_k N`
` mu_k mg = ma " " (therefore N= mg)`
` a = mu_k g " " .....(i)`
चूँकि घर्षण `f_k` बल चिक्रिका के स्पर्शीय लगता है, जो चक्रिका के तल के लम्बवत् तथा O से गुजरने वाली अक्ष के परितः घूर्णन प्रदर्शित करता है।
`tau = f_k xx R = I alpha`
`mu_k mg R = Ialpha " या " alpha = (mu_k mg R)/(I) " " ...(ii)`
अब t समय बाद, वेग `v_c = u + at `
समीकरण (i) से, `v_c = at = mu_k gt " " (therefore u =0) ...(iii)`
तथा समान समय t बाद कोणीय वेग,
`omega = omega_0 alpha t`
समीकरण (ii) से, `omega = omega_0 -(mu_k mg R)/(I) t " "...(iv)`
परिशुद्ध लोटनिक गति के लिए, `v_c = Romega " "....(v)`
`mu_k gt = (omega_0 - (mu_k mgR)/(I) t) xx R`
` t= (omega_0 R)/(1+ (MR^2)/(I))mu_kg)`
छल्ले के लिए `I = MR^2` तथा चक्रिका के लिए,`I = 1/2 MR^2` ,
इसलिये, छल्ले का लोटनिक गति में लगा समय, ` t_1 = (omega_0R)/(1+(MR^2)/(MR^2))mu_kg) = (mu_0 R)/(2mu_k g) " " ....( vi)`
तथा चक्रिका के लिए, ` t_2 = (omega_0 R)/([1+ (MR^2)/((1/2MR^2))]Mu_k g) = (omega_0 R)/(3mu_kg) " " ...(vi)`
चूँकि `t_2 gt T_1` इस प्रकार चक्रिका लोटनिक गति पहले आरम्भ करती है। `omega_0 = 10 pi` रेडियन/सेकण्ड, R = 10 सेमी = 0.1 मीटर, `u_k` = 0.2 तथा g= 9.8 मीटर/सेकण्ड से,
R, `mu_k g " तथा " omega_0` के मान समी. (vi) एवं (vii) में मान रखने पर,
`t_1` = 0.8 सेकण्ड तथा `t_2` = 0.53 सेकण्ड।