कणों के किसी निकाय की गति को इसके द्रव्यमान केन्द्र की गति और द्रव्यमान केन्द्र के परितः गति में अलग-अलग करके विचार करना। दर्शाइए कि
(a) ` p = P'_i + m_iV,` जहाँ `p_i(m_i " द्रव्यमान वाले")` i-वें कण का संवेग है, और `p'_i =m_iv'_i` | ध्यान दें कि `v'_i`, द्रव्यमान केन्द्र के सापेक्ष i-वें कण का वेग है। द्रव्यमान केन्द्र की परिभाषा का उपयोग करके यह भी सिद्ध कीजिए कि `Sigma P'_i = 0`
(b) ` K= K' + 1/2 MV^2`
K कणों के निकाय की कुल गतिज ऊर्जा, K' = निकाय की कुल गतिज ऊर्जा जबकि कणों की गतिज ऊर्जा द्रव्यमान केन्द्र के सापेक्ष ली जाय। `MV^(2)//2` सम्पूर्ण निकाय के (अर्थात् निकाय के द्रव्यमान केन्द्र के) स्थानान्तरण की गतिज ऊर्जा है।
(c) L= L'+ Rx MV
`L =L' R xx MV`
जहाँ `L' = Sigma r' _i xx P'_i` , द्रव्यमान के परितः निकाय का कोणीय संवेग है जिसकी गणना में वेग द्रव्यमान केन्द्र के सापेक्ष मापे गये हैं। याद कीजिए `r'_i = r_' - R` शेष सभी चिह्न अध्याय में प्रयुक्त विभिन्न राशियों के मानक चिह्न हैं। ध्यान दें कि L' द्रव्यमान केन्द्र के परितः निकाय का कोणीय संवेग एवं `MR xx V` इसके द्रव्यमान केन्द्र का कोणीय संवेग है।
(d) `(dL')/(dt) = Sigma r'_i xx (dp')/(dt)`
यह भी दर्शाइए कि `(dL')/(dt) = tau'_(ext)`
(जहाँ `tau'_(ext)` द्रव्यमान केन्द्र के परितः निकाय पर लगने वाले सभी बाह्य बल आघूर्ण हैं।) [संकेत : द्रव्यमान केन्द्र की परिभाषा एवं न्यूटन के गति के तृतीय नियम का उपयोग कीजिए। यह मान लीजिए कि किन्ही दो कणों के बीच के आन्तरिक बल उनको मिलाने वाली रेखा के अनुदिश कार्य करते हैं।]

Explanation

चित्र में, मूल-बिन्दु O के सापेक्ष i-वें कण का स्थिति सदिश `vecr_i` तथा निकाय के कणों का द्रव्यमान केन्द्र C का मूल बिन्दु O के सापेक्ष स्थिति सदिश `vecR` है। यदि द्रव्यमान केन्द्र का वेग सदिश `vecV` तथा i-वें कण का वेग सदिश `vecv_i` है, तो
सदिश योग के नियमानुसार, `vecr_i = vecr'_i + vecR " " ....(i)`
तथा `vecv_i = vecv_i + vecV " "...(ii)`
(a) प्रश्नानुसार, i वें कण का संवेग `vecp_i = m_i , v_i`
समीकरण (ii) से, ` = m_i,(vecv_i + vecV)`
` = m_i.vecv_i + m_i vecV`
`vec p_i = vecp_i + mi vecV " " ...(iii)`
अतः ` vec p = Sigma vecp_i = Sigma(vecp_i + m_ivecV)`
` = Sigmavecp_i + Sigma m_i vec V`
` vec p = Sigma vecp'_i + Mvec V " " ( " जहाँ " M= Sigma m_i " है" ) ......(iv)`
द्रव्यमान केन्द्र की परिभाषा के अनुसार,
`vecR = Sigma (m_ivecr_i)/(M)`
`vecV = (dvecR)/(dt) = (d)/(dt) ((Sigma m_i r_i)/(M)) = (Sigmam_i)/(M)xx (d)/(dt) (vecr_i) = (Sigmam_i vecv_i)/(M) " " (therefore (dvecr_i)/(dt) = v_i)`
`vecV = (vecp)/(M)`
`vecV` का मान समीकरण (iv) में रखने पर,
`vec p = Sigma vec p_i + M xx (vecp)/(M)`
`vecp = Sigma vecp_i + vecp`
`Sigma vec p_i =0 " " ....(v)` यही सिद्ध करना था।
(b) कणों के निकाय की कुल गतिज ऊर्जा
`K = Sigma 1/2 m_i vec_i^2`
समीकरण (ii) से, ` K =1/2 Sigma m_i (vec v_i + vec V)^2`
`1/2 Sigma m_i[(v'_i)^2 + 2vecv_i, vecV + V^2]`
` =1/2 Sigmam_i v'_i^2 + Sigma m_i vecv'_i . vecV + 1/2 Sigma m_i V^2]`
`K' + vec V Sigma m_i vecv'_i + 1/2 V^2 Sigma m_i`
` K = K' + vec V. Sigmavecp_i + 1/2 V^2 m`
समीकरण (v) (`Sigma vecp_i =0` ) से ` K= K' + 1/2 MV^2` यही सिद्ध करना था।
(c) कणों के निकाय का कोणीय संवेग,
`vec L= Sigma vecr_i xx vecp_i`
समीकरण (ii) व (iii) से, `vecL = Sigma (vecr'_i + vecR)xx (vecp'_i + m_ivecV)`
`= Sigma vecr'_i + p'_i + Sigma vec r'_i xx m_i vec V + Sigma vecR xx vec p'_i xx Sigma vecR xx m_i vec V`
` = L' + Sigma m_i vec r'_i xx vecV + vec R xx Sigma vecp'_i + (vecR xx vecV) Sigma m_i`
` =L' Sigmavecp'_i xx vecV + vec R xx Sigma vecp'_i + (vecR xx vec V)M`
परन्तु समीकरण (v) (`Sigma vecp'_i` = 0) से,
`vecL= L' + (vecR xx vecV)M`
`L = L' + R xx MV` यही सिद्ध करना था।
(d) चूंकि `vecL' = Sigma vecr'_i xx vecp'_i`
`(dvecL')/(dt) = Sigma (d)/(dt) (r'_i xx p'_i)`
` = Sigma vecr_i xx (d)/(dt) (vecp'_i) + Sigma vecp'_i xx (d)/(dt) (vecr'_i)`
परन्तु `Sigma (dvecr'_i)/(dt) xx vecp'_i = Sigma vecv'_i xxm_i vecv'_i =0`
`therefore (dvecL')/(dt) = Sigma vecr'_i xx (dvecp'_i)/(dt)`
`(dvecL')/(dt) = Sigma vecr'_i xx vecF_(ext) = tau'_(ext)` यही सिद्ध करना था।