लम्बाई L की एक पतली छड़ X-अक्ष के अनुदिश इस प्रकार रखी है कि x = 0 तथा x = L पर इसके सिरे स्थित हैं। यदि इसका रैखिक घनत्व (अथवा द्रव्यमान/लम्बाई) x के साथ `(x/L)^n` के अनुसार बदलता है, जहाँ n का मान 0 अथवा धनात्मक पूर्णांक हो सकता है, तो द्रव्यमान केन्द्र की स्थिति `x_(CM)` तथा n के बीच खींचा गया ग्राफ होगा :

Options

A.
B.
C.
D.

Answer

A

Explanation

x =0 से x दूरी पर dr लम्बाई के अंश का द्रव्यमान `dm = k(x/L)^n dx`
सूत्र ` x_(CM) = (int xdm)/(int dm) , x_(CM) = (int_0^L xk (x/L)^n dx)/(int_0^L k(x/L)^n dx) = (int_0^L x^(n+1) dx)/(int_0^L x^n dx) = ((x^(n+2))/(n+2))_0^L/(((x^(n+1))/(n+1))_0^L) = ((n+1)/(n+2))L`
यदि n= 0 तो `x_(CM) = 1/2 L, n= 1 , x_(CM) = 2/3 L, n=2 m, x_(CM) = 3/4 L, ....`
अतः `x_(CM)` तथा n के बीच खींचा गया ग्राफ (क) होगा।