हाइगेन के तरंग सिद्धान्त के आधार पर अपवर्तन के नियम सिद्ध कीजिए।

Explanation

हाइगेन के तरंग सिद्धान्त द्वारा तरंगों के अपवर्तन के नियमों की व्याख्या-चित्र में ZZ' दो माध्यमों का सीमा-पृष्ठ है, जिनमें किसी तरंग की चाल क्रमश: `v_1` व `v_2` है। पहले माध्यम में, जिसमें तरंग की चाल v है, एक समतल तरंगाग्र AB तिरछा आपतित होता है। माना t=O समय पर यह सीमा-पृष्ठ ZZ' के बिन्दु A को स्पर्श करता है।
माना कि तरंगाग्र के बिन्दु B को सीमा-पृष्ठ के बिन्दु A तक पहुँचने में t समय लगता है। तब BA' =`v_1t` । जैसे-जैसे तरंग्राग AB आगे बढ़ता है, वह सीमा पृष्ठ के A व A' के बीच के बिन्दुओं से टकराता है। हाइगेन के सिद्धान्त के अनुसार, A व A' के बीच स्थित ये सभी बिन्दु नये तरंग स्रोतों का कार्य करते हैं। इनसे द्वितीयक गोलीय तरंगिकाएँ निकलने लगती हैं जो पहले माध्यम में `v_1` चाल से `v_2` चाल से फैलती हैं। सबसे पहले बिन्दु A से द्वितीयक तरंगिकाएँ चलती हैं जो दूसरे माध्यम में t' समय में AB' (= `v_2t`) दूरी तय करती हैं, परन्तु इसी समय t में तरंगाग्र का बिन्दु B, पहले माध्यम में दूरी `BA'=(v_1t)` चलकर A' पर पहुँच जाता है।
बिन्दु A' से भी द्वितीयक तरंगिकाएँ फैलनी शुरू हो जाती हैं ।
बिन्दु A को केन्द्र मानकर AB' त्रिज्या का एक गोलीय चाप खींचते हैं तथा बिन्दु A' से उस चाप पर स्पर्श रेखा A'B' खींच लेते हैं । जैसे-जैसे आपतित तरंगाग्र AB आगे बढ़ता है, सीमा पृष्ठ के A व A' के मध्य स्थित सभी बिन्दुओं से एक के बाद एक चलने वाली द्वितीयक तरंगिकाएँ भी एक साथ A'B' को स्पर्श करेंगी। हाइगेन के अनुसार, यह A'B' ही अपवर्तित तरंगाग्र है।
माना आपतित तरंगाग्र AB तथा अपवर्तित तरंगाग्र A'B' अपवर्तक पृष्ठ ZZ' के साथ क्रमश: i व r कोण बनाते हैं।
अब समकोण त्रिभुज ABA' में,
`sin i=(A'B)/(A A')=(v_1t)/(A A')` (1)
इसी प्रकार समकोण त्रिभुज AA'B' में,
`sin r =(AB')/(A A')=(v_2t)/(A A')` (2)
समीकरण (1) व (2) से,
`"sin i"/"sin r"=v_1/v_2` =नियतांक
यही अपवर्तन का द्वितीय नियम (स्नेल का नियम) है । चित्र से स्पष्ट है कि आपतित किरण, अपवर्तित किरण तथा अभिलम्ब तीनों एक ही तल में हैं। यह अपंवर्तन का प्रथम नियम है।