गोलीय दर्पण के लिए सिद्ध कीजिए-
`1/f=1/v+1/u`

Explanation

`M_1M_2`=अवतल ( गोलीय ) दर्पण, P =3D ध्रुव, F = फोकस, C= वक्रता केन्द्र, AB = वस्तु, A'B' = वस्तु का वास्तविक प्रतिबिम्ब, MN = बिन्दु M से मुख्य अक्ष पर लम्ब।

`triangleACB` और `triangleA'CB` में , `angleACB=angleA'CB'`
`therefore (AB)/(BC)=(A'B')/(B'C)`
अतः `(AB)/(A'B')=(BC)/(B'C)` ....(1)
[`therefore` समरूप त्रिभूजों में, `"एक त्रिभुज का लम्ब"/"एक त्रिभुज का आधार"="दूसरे त्रिभुज का लम्ब "/"दूसरे त्रिभुज का आधार"`]
इसी प्रकार `triangle`MFN और `triangle`A'FB' में,
`angleMFN=angleA'FB'`
`therefore "MN"/"FN"="A'B'"/"FB'"`
अतः `"MN"/"A'B'"="NF"/"FB'"`
या `(AB)/(A'B')=(PF)/(FB')`....(2)
[`because` MN=AB तथा N बिन्दु P के निकट है, अत: NF `~~` PF]
समी. (1) व (2) की तुलना करने पर,
`(BC)/(B'C)=(PF)/(FB')` या `(PB-PC)/(PC-PB')=(PF)/(PB'-PF)`
चित्रानुसार मान रखने पर,
`(-u-(-2f))/(-2f-(-v))=((-f))/(-v-(-f))`
या `((-u+2f))/((-2f+v))=((-f))/((v+f))`
अथवा (-u+2f)(-v+f)=(-f)(-2f+v)
या uv-2fv-uf+`2f^2=2f^2-fv`
अथवा uv-uf=fv
उपर्युवत समीकरण के प्रत्येक पद में uvf का भाग देने पर ,
`1/f-1/v=1/u`
या `1/f=1/v+1/u`