प्रकाश के व्यकतिकरण सम्बन्धी यंग के प्रयोग में फ्रिन्ज चौड़ाई हेतु सूत्र व्युत्पन्न कीजिए |

Explanation

चित्र में S प्रकाश स्रोत है। `S_1, S_2`, बारीक स्लिटें हैं जो एकवर्णो (तरंगदैर्घ्य `lambda` ) कला सम्बद्ध स्रोतों की भौंति हैं।

माना कि केन्द्रीय दीप्त फ्रिन्ज O से P पर स्थितं nवीं दीप्त फ्रिन्ज की ऊँचाई `y_n` है।
अत: समकोण `trianglePS_1M` में,
`(S_1P)^2=(PM)^2 +(S_1M)^2`
अत:`(S_1P)^2=(y_n - d/2)^2 + D^2` ....(1)
यहाँ `SS_1 = SS_2 = OM = ON =d/2` (माना)
तथा समकोण `trianglePS_2N` में,
`(S_2P)^2 =(PN)^2 +(S_2N)^2`
अत: `(S_2P)^2 =(y_n +d/2)^2+D^2` (2)
समी (1) से, `S_1P=D{1+1/D^2(y_n -d/2)^2}^(1//2)`
द्विपद सिद्धान्त से, `S_1P=D{1+((y_n-d//2)^2)/(2D^2)}`
या `S_1P=D+((y_n-d//2)^2)/(2D)` (3)
इसी प्रकार, समी .....(2) से, `S_2P=((y_n+d//2)^2)/(2D)`
समी (3) व समी (4) से,
`S_2P-S_1P=1/(2D)[(yn+d/2)^2 - (y_n-d/2)^2]`
या `S_2P-S_1P=1/(2D)[2y_nd]`
`=(y_nd)/D` (5)
परन्तु nर्वीं दीप्त फ्रिन्ज के लिए मार्ग-अन्तर,
`S_2P-S_1P=nlambda`..... (6)
(यहाँ n=0,1,2,3, )
समी (5) व समी (6) से,
`nlambda=(y_nd)/D` या `y_n=(nlambdaD)/d` ..... (7)
इसी प्रकार, यदि केन्द्रीय प्रिन्ज 0 से (n +1)वीं दीप्त फ्रिन्ज की ऊँचाई `y_n+1` हो, तो सममिति से,
`y_(n+1)=((n+1)lambdaD)/d` ..... (8)
अतः nवीं एवं (n + 1)वीं दीप्त फ्रिन्ज के बीच की अदीप्त फ्रिन्ज की चौड़ाई
`beta=y_(n+1)-y_n` (9)
समी. (9) में समी. (7) व (8) से मान रखने पर,
`beta=((n+1)lambdaD)/d-(nlambdaD)/d`
`therefore beta=(nlambdaD)/d+(lambdaD)/d-(nlambdaD)/d`
या `beta=(lambdaD)/d`
दीप्त फ्रिन्ज की चौड़ाई ज्ञात करने के लिए,
मार्ग अन्तर `S_2P-S_1P=(2n+1)lambda/2`
यहाँ n = 0, 1, 2, 3, रखने पर,
अर्थात् समी (7) व (8) के दाहिने पक्ष में n के स्थान पर `(2n+1)/2` रखने पर ,
`y_(((2n+1)/2))=((2n+1)lambdaD)/(2d)` ..... (10)
तथा इसी प्रकार, `therefore y_(((2n+3)/2))=((2n+3)lambdaD)/(2d)`..... (11)
`beta=y_(((2n+3)/2)-((2n+1)/2))`
`=((2n+3)lambdaD)/(2d)-((2n+1)lambdaD)/(2d)`
`rArr beta=(lambdaD)/d`
अत: दीप्त फ्रिन्ज तथा अदीप्त फ्रिन्ज की चौड़ाई समान होती है।