गॉस के प्रमेय का उपयोग किये बिना एकसमान रूप से आवेशित अनंत लम्बा के पतले तार के कारन विद्युत् - क्षेत्र के लिए सूत्र प्राप्त करे | तार पर आवेश का रैखिक घनत्व ( linear density ) ` lamda ` है |

Explanation

मान लिया कि अंनत लम्बाई के आवेशित तार के कारण r दुरी पर स्थित बिंदु P पर विद्युत -क्षेत्र ज्ञात करना है |
P से तार पर खिंचा गया अभिलम्ब OP है,
जहाँ ` OP = r ` अब ` O ` से y दुरी पर dy लम्बाई के अल्पांश AB पर आवेश ` dq = lamda dy ` . इस आवेश के कारण बिंदु P पर विद्युत् - क्षेत्र
` dE = ( 1 ) / ( 4 pi in _ 0 ) ( lamda dy ) /( z ^ 2 ) ` जहाँ ` z ` = अल्पांश AB की P से दुरी | अब ` vec( dE) ` का OP के समांतर घटक ` dE _ ("||") = dE cos theta ` तथा लंबवत दिशा में घातक ` dE _ (bot) =dE sin theta ` .

अब, बिंदु `O ` के नीचे y दुरी पर अल्पांश dy के कारण P पर क्षेत्र `vec(dE) ` के भी दो घातक ` dE_("||") ` तथा ` dE_(bot )` होंगे | लंबवत घटक एक - दूसरे से निष्फल (neutralize ) हो जाएँगी तथा P पर परिणामी क्षेत्र O से P की दिशा में होगा | अतः परिणामी क्षेत्र ,
` E _ ("||") = int dE_("||") = int dE cos theta = ( 1 ) /( 4pi in _ 0 ) int ( lamda dy ) /( z ^ 2 ) cos theta" " `...(1)
चित्र से, ` z = r sec theta ,` अर्थात ` z^ 2 = r ^ 2 sec ^ 2 theta , y = r tan theta ` , अवकलन करने पर,
` dy = r sec ^ 2 theta d theta `
समीकरण (1 ) में dy तथा ` z ^2 ` के मान रखने पर,
` E_("||") = ( 1 ) /( 4pi in_0 ) lamda int ( r sin ^ 2 theta d theta ) /( r ^ 2 sec ^2 theta ) cos theta = ( 1 )/( 4pi in _ 0 ) ( lamda ) /( r ) int cos theta d theta " " ` ... (2 )
विशेष स्थिति में यदि आवेशित तार की लम्बाई अनंत हो, तो ` theta ` के सीमांत मान (limiting values )
` theta _1 = - ( pi ) /( 2 ) ` से, ` theta _ 2 = + ( pi )/( 2 ) ` होंगे | अतः , समीकरण `(2) ` से, परिणामी विद्युत - क्षेत्र, ` E _("||") = ( 1 ) /( 4pi in _ 0 ) ( lamda ) /( r ) int _ ( - pi//2) ^( + pi//2) cos theta d theta = ( 1 ) /( 4pi in _ 0 ) ( lamda )/ ( r ) [ sin theta ] _ ( -pi//2) ^( pi//2) `
` = ( 1 ) /( 4pi in _ 0 ) ( lamda ) /( r ) [ sin "" ( pi ) /( 2 ) - sin ( - (pi ) /( 2 )) ] = ( 1 ) /( 4pi in _ 0 ) ( lamda ) /( r ) [ 1 - ( - 1 ) ] `
` = ( 1 ) /( 4pi in _ 0 ) ( 2lamda ) /( r ) = ( lamda ) /( 2pi in _ 0 r ) `.
` therefore ` परिणामी विद्युत -क्षेत्र का अभीष्ट मान = ` ( lamda ) /( 2 pi in _ 0 r ) `.