मृदु इस्पात के एक तार, जिसकी लंबाई 1.0 मीटर तथा अनुप्रस्थ परिच्छेद का क्षेत्रफल `0.50 xx 10^(-2) " सेमी "^2` है, को दो खम्भों की बीच क्षैतिज दिशा में प्रत्यास्थ सीमा के अंदर ही तनित किया जाता है। तार के मध्य-बिन्दु से 100 ग्राम का एक द्रव्यमान लटका दिया जाता है। मध्य-बिन्दु पर अवनमन की गणना कीजिए।

Explanation

प्रश्नानुसार, m = 100 ग्राम = 0.1 किग्रा, L = 1 मीटर, g = 9.8 मीटर/सेकण्ड, तथा `A = 0.50 xx 10^(-2) " सेमी "^2 = 5 xx 10^(-7) " मीटर "^2` । चित्र में, तार के मध्य-बिन्दु C पर 100 ग्राम का एक द्रव्यमान लटकाने पर तार का आकार ACB से प्रदर्शित है अब यदि तार के मध्य में अवनमन x मीटर होता है, तो
` AC = sqrt((AD)^2 + (CD)^2) = sqrt((L/2)^2 + x^2)`
`AC = 1/2 | 1 + (x^2)/((L/2)^2)|^(1//2)`
` because x lt lt 1/2` , इस प्रकार द्विपद प्रमेय से,
` AC = 1/2 [1 + (x^2)/(2 xx (L/2)^2]`
` ACB = AC + CB = 2 xx L/2 [ 1+ (2x^2)/(L^2)] = L + (2x^2)/(L)`
लम्बाई में वृद्धि, ` Delta L = (AC + CB ) - AB = (2x^2)/(L)`
अनुदैर्घ्य विकृति, `(DeltaL)/(L) = ((2x^2//L))/(L) = (2x^2)/(L^2) " " ....(i)`
अब ऊर्ध्वाधर संतुलन के लिए, ` 2T cos theta = mg`
` T= (mg)/(2 cos theta " " ....(ii)`
तार में प्रतिबल = ` T /A = (mg)/(2 cos theta xx A ) = (mg)/( 2A cos theta) " "` [समीकरण (ii) से]
` Y = (" प्रतिबल " )/(" विकृति ") = (mg// 2 A cos theta)/(2x^2 //L^2) " " ` [समीकरण (i) से]
` Y = (mgL^2)/(4A cos theta x^2) " "....(iii)`
अब चित्र से, ` cos theta = (CD)/(AC) = (x)/(AC) = (x)/(L//2) = (2x)/(L)`
` Y =(mgL^2)/(4A ((2x)/(L)x^2) = (mgL^3)/(8Ax^3)`
` x^3 = (0.10 xx 9.8 xx (1)^3)/(8(5xx10^(-7) ) xx 2 xx 10^11)`
`= 1.225 xx 10^(-6)`
` x= (1.225 xx 106(-6))^(1//3)`
` = 1.07 xx 10^(-2) m`
0.01 m