दिखाइए की कणों के किसी निकाय का कुल रेखीय संवेग निकाय के कुल द्रव्यमान तथा द्रव्यमान-केंन्द्र के वेग के गुणनफल के बराबर होती है। सिद्ध कीजिए की निकाय पर लगने वाले बाह्य बलों की अनुपस्थिति में निकाय का कुल रेखीय संवेग नियत रहता है।

Explanation

संवेग संरक्षण तथा द्रव्यमान-केंन्द्र की गति - माना किसी निकाय के कणों के द्रव्यमान `m_(1), m_(2),... m_(n)` है तथा उनके वेग क्रमशः `vec v_(1) , vec v_(2), ... , vec v_(n)` है। निकाय का कुल रेखीय सवेग, सभी कणों के संवेगों के सदिश योग के बराबर होगा।
अर्थात `vecp=vecp_(1)+vecp_(2)+ ...+ vecp_(n)`
`vecp=m_(1)vecv_(1)+m_(2)vecv_(2)+ ...+ m_(n) vecv_(n)`
निकाय के द्रव्यमान-केंन्द्र के वेग की परिभाषानुसार -
`vecv_(CM)=(1)/(M)(m_(1)vecv_(1)+m_(2)vecv_(2)+ ...+ m_(n)vecv_(n))`
अतः `vecp=M. vecv_(CM)" "`...(1)
अर्थात कणों के निकाय का कुल रेखीय संवेग, निकाय के कुल द्रव्यमान तथा द्रव्यमान-केन्द्र के वेग के गुणनफल के बराबर होता है।
समीकरण (1 ) का t के सापेक्ष अवकलन करने पर
`(vec (dp))/(dt)=M (vec(dv)_(CM))/(dt)=Mvec(a_(CM))`
परन्तु `M. vec(a_(CM))=vecF`ext
अतः `(vec(dp))/(dt)=vecF_("ext")`
यदि `vecF "ext" =0`, तब `(vec(dp))/(dt)=0`
या `vecp=` नियतांक
या `vecp_(1)+vecp_(2)+... +vecp_(n)=` नियतांक `" " `...(2)
अतः जब किसी निकाय पर लगने वाले बाह्य बालों का सदिश योग शून्य होता है, तो निकाय का कुल रेखीय संवेग नियत रहता है। यही संवेग-संरक्षण का नियम है।