दर्शाइए कि कणों के किसी निकाय का द्रव्यमान-केन्द्र इस प्रकार गति करता है जैसे कि निकाय का सम्पूर्ण द्रव्यमान, द्रव्यमान-केन्द्र पर संकेंद्रित हो तथा सभी बाह्य बल इसी पर लगाए गये हों।

Explanation

द्रव्यमान-केन्द्र की गति - माना किसी निकाय में n कण है जिनके द्रव्यमान `m_(1), m_(2),...m_(n)` है तथा एक निश्चित बिंदु के सापेक्ष स्थिति वेक्टर क्रमशः `vecr_(1), vecr_(2), ....vecr_(n)` है।
माना इन कणों पर प्रतिवेश द्वारा आरोपित बाह्य बल `vecF_(1), vecF_(2), ....., vecF_(n)` लगे है। निकाय के द्रव्यमान-केन्द्र का स्थिति वेक्टर
`vecr_(CM)=(m_(1)vecr_(1)+m_(2)vecr_(2)+....+m_(n)vecr_(n))/(m_(1)+m_(2)+...+m_(n))`
`rArrvecr_(CM)=(1)/(M)(m_(1)vecr_(1)+m_(2)vecr_(2)+....+m_(n)vecr_(n))`
समय के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`(dvec(r_(CM)))/(dr)=(1)/(M)(m_(1)(d vec(r_(1)))/(dt)+m_(1)(dvec(r_(2)))/(dt)+...+m_(n)(dvec(r_(n)))/(dt))`
`vecv_(CM)=(1)/(M)(m_(1)vecv_(1)+m_(2)vecv_(2)+...+m_(n)vecv_(n)) " " `...(1)
जहाँ `vecv_(CM)=` द्रव्यमान-केन्द्र का वेग है।
समीकरण (1 ) का समय के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`(dvec(v_(CM)))/(dt)=(1)/(M)(m_(1)(dvecv_(1))/(dt)+m_(2)(dvecv_(2))/(dt)+...+m_(n) (dvecv_(n))/(dt))`
या `veca_(CM)=(1)/(2)(m_(1)veca_(1)+m_(2)veca_(2)+...+m_(n)veca_(n))`
या `M.veca_(CM)=m_(1)veca_(1)+m_(2)veca_(2)+...+m_(n)veca_(n) " "` ...(2)
जहाँ `veca_(CM)=` द्रव्यमान-केन्द्र का त्वरण है।
समीकरण (2 ) में न्यूटन का द्वितीय नियम लगाने पर,
`M.veca_(CM)=vecF_(1)+vecF_(2)+....+vecF_(n)`
`M.veca_(CM)=vecF_("ext")" "`...(3)
स्पष्ट है कि कणों की किसी निकाय का द्रव्यमान-केन्द्र इस प्रकार गति करता है मानो कि निकाय का सम्पूर्ण द्रव्यमान, द्रव्यमान-केन्द्र पर संकेन्द्रित हो तथा सभी 'बाह्य' बल इसी पर लगाये गये हों ।