किसी अक्ष के परितः घूर्णन गति कर रहे पिंड की घूर्णन गतिज ऊर्जा के लिए व्यंजक `E=(1)/(2)Iomega^(2)` निगमित कीजिए। इसके आधार पर जड़त्व आघूर्ण को परिभाषित कीजिए।

Explanation

माना की कोई पिण्ड किसी घूर्णन अक्ष के परितः `omega ` कोणीय वेग से घूर्णन कर रहा है। इस पिण्ड के सभी कणों का कोणीय वेग समान `(omega)` होगा, परन्तु प्रत्येक कण का रेखीय वेग भिन्न होगा। यदि पिण्ड के घूर्णन अक्ष से दूरी r पर किसी कण का द्रव्यमान m और रेखीय वेग v हो, तब उसकी
गतिज ऊर्जा `=(1)/(2)mv^(2)`
गतिज ऊर्जा `=(1)/(2)mr^(2)omega^(2)" " [because v=r omega]`
अतः पिण्ड की गतिज ऊर्जा `=Sigma(1)/(2)mr^(2)omega^(2)`
`therefore ` पिण्ड की गतिज ऊर्जा `=(1)/(2)omega^(2)Sigmamr^(2)" "` ...(1)
`therefore ` पिण्ड की गतिज ऊर्जा `=(1)/(2)omega^(2)I " "` यही अभीष्ट व्यंजक है।
जड़त्व आघूर्ण की परिभाषा -
समी (1 ) से स्पष्ट है कि यदि `omega=1` हो तो
घूर्णन गतिज ऊर्जा `=(1)/(2)xx I`
या जड़त्व आघूर्ण `I=2xx` घूर्णन गतिज ऊर्जा
अतः "किसी दृढ़ पिण्ड का किसी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण, उस पिण्ड कि घूर्णन गतिज ऊर्जा के दुगने के बराबर होता है, जबकि पिण्ड उस अक्ष के परितः एकांक कोणीय वेग से घूम रहा है।"