घूर्णन गति के समीकरण लिखिए तथा इनको निगमित कीजिए।

Explanation

जब कोई पिण्ड जिसका प्रारम्भिक कोणीय वेग `omega_(0)` है, एक नियत कोणीय त्वरण `alpha` से किसी अक्ष के परितः घूर्णन गति कर रहा हो तथा t सेकण्ड में `theta ` रेडियन कोण घूमने के बाद उसका कोणीय वेग `omega ` हो, तो उसकी गति को निम्नलिखित तीन समीकरणों द्वारा व्यक्त किया जाता है -
`(i) omega=omega_(0)=alpha t, (ii) theta =omega_(0)t+(1)/(2)alpha t^(2)`, तथा `(iii) omega^(2)=omega_(0)^(2)+2alpha theta`
इन समीकरणों को घूर्णन गति के समीकरण कहते है।
(i) प्रथम समीकरण का निगमन : परिभाषानुसार कोणीय संवेग
`alpha=(d omega)/(dt)` या `d omega=alpha dt`
चूँकि t = 0 पर पिण्ड का कोणीय वेग `omega_(0)` है तथा t समय पश्चात `omega ` हो जाता है। अतः इस सीमाओं के बीच समाकलन करने पर
`int_(omega_(0))^(omega)d omegao= int_(0)^(t)alpha dt `
या `omega-omega_(0)=alphat`
या `omega=omega_(0)+alpha t " " `... (1)
(ii) द्वितीय समीकरण का निगमन : परिभाषानुसार कोणीय वेग
`omega=(d theta)/(dt)` या `d theta=omegadt`
या ` d theta=(omega_(0)+alpha)dt [because ` समी. (1 ) से , `omega=omega_(0)=alpha t]`
चूँकि t = 0 पर कोणीय विस्थापन शून्य तथा t समय पश्चात `theta ` है।
अतः इन सीमाओं के बीच समाकलन करने पर
`int_(0)^(theta) d theta=int_(0)^(t) (omega_(0)+alpha t) dt`
या `theta=omega_(0) t +(1)/(2)alpha t^(2) " " `...(2)
(iii) तृतीय समीकरण का निगमन : प्रथम समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
`omega^(2)=(omega_(0)+alpha t)^(2)=omega_(0)^(2)+2omega_(0) alpha t +alpha^(2)t^(2)`
`=omega_(0)^(2)+2alpha(omega_(0)t+(1)/(2) alpha t^(2))`
या `omega^(2)=omega_(0)^(2)+2alpha theta " " ... (3)[because" समी. (2 ) से, "theta =omega_(0)t+(1)/(2) alpha t^(2)]`