रदरफोर्ड के परमाणु मॉडल के आधार पर हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा के लिए व्यंजक व्युत्पन्न कीजिए। इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा के ऋणात्मक होने का क्या अर्थ है ?

Explanation

मानलो इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान m है। वह r त्रिज्या की कक्षा में v चाल से परिक्रमा कर रहा है। तब वृत्तीय गति करने के लिए आवश्यक अभिकेन्द्र बल `=(mv^(2))/(r )`
कूलाम के नियम से नाभिक के धनावेश और इलेक्ट्रॉन के बीच लगने वाला स्थिरवैद्युत आकर्षण बल
`=(1)/(4pi epsilon_(0))*(e xx e)/(r^(2))=(1)/(4pi epsilon_(0))*(e^(2))/(r^(2))`
किन्तु अभिकेन्द्र बल स्थिरवैद्युत आकर्षण बल के बराबर होता है।
`therefore (mv^(2))/(r )=(1)/(4pi epsilon_(0))*(e^(2))/(r )`
या `r=(1)/(4pi epsilon_(0))*(e^(2))/(mv^(2))" " ` ...(1)
समीकरण (1 ) इलेक्ट्रॉन की कक्षा की त्रिज्या एवं उसकी चाल में संबंध प्रदर्शित करता है।
यदि इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा K हो तो `K=(1)/(2)mv^(2)`
समीकरण (1 ) से मान रखने पर `K=(e^(2))/(8pi epsilon_(0)r)`
नाभिक से r दूरी पर स्थित इलेक्ट्रॉन की स्थितिज ऊर्जा
`U=(1)/(4pi epsilon_(0))*(e(-e))/(r ), " " [ because U=(1)/(4pi epsilon_(0))*(q_(1)q_(2))/(r )]`
`=(-e^(2))/(4pi epsilon_(0)r)`
अतः हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा
`E=U+K=(e^(2))/(8pi epsilon_(0)r)-(e^(2))/(4pi epsilon_(0)r)=(e^(2)-2e^(2))/(8pi epsilon_(0)r)`
`=(-e^(2))/(8pi epsilon_(0)r)`
इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा ऋणात्मक है जो इस बात का द्योतक है कि इलेक्ट्रॉन नाभिक से बद्ध रहता है।