2mm त्रिज्या की वर्षा की कोई बूँद 500 m की ऊँचाई से पृथ्वी पर गिरती है । यह अपनी आरंभिक ऊँचाई के आधे हिस्से तक ( वायु के श्यान प्रतिरोध के कारण ) घटते त्वरण के साथ गिरती है और अपनी अधिकतम ( सीमांत ) चाल प्राप्त कर लेती है और उसके बाद एकसमान चाल से गति करती है । वर्षा की बूँद पर उसकी यात्रा के पहले व दूसरे अर्ध भागों में गुरुत्वीय बल द्वारा किया गया कार्य कितना होगा ? यदि बूँद की चाल पृथ्वी तक पहुँचने पर `10 ms^(-1)` हो तो संपूर्ण यात्रा में प्रतिरोधी बल द्वारा किया गया कार्य कितना होगा ?

Explanation

प्रश्नानुसार, वर्षा की बूँद की त्रिज्या r = 2 मिमी `=2xx10^(-3)` मीटर, पृथ्वी तक पहुँचने पर बूँद की चाल v = 10 मीटर/सेकण्ड, प्रत्येक आधे हिस्से में तय दुरी, `s=(500)/(2)=250` मीटर|
जल का घनत्व `rho=10^(3)" किग्रा/मीटर"^(2)` तथा बूँद को गोलाकार मानते हैं
तो `" "` वर्षा की बूँद का द्रव्यमान `m=` आयतन `xx` घनत्व
`m=(4)/(3)pir^(3)xx rho =(4)/(3)xx3.14xx(2xx10^(-3))^(3)xx10^(3)`
`=3.35xx10^(-5)` किग्रा
वर्षा की बूँद पर गुरुत्वीय बल, `" "F=mg`
`=3.35xx10^(-5)xx9.8=3.28xx10^(-4)` न्यूटन
प्रत्येक आधे हिस्से में गुरुत्वीय बल द्वारा किया गया कार्य बराबर होगा, क्योंकि विस्थापन तथा बल समान हैं|
`W=mgs=3.28xx10^(-4)xx250`
`=0.082` जूल
प्रत्येक आधे हिस्से में गुरुत्वीय बल द्वारा किया गया कुल कार्य
`W_(g)=2xxW=2xx0.082=0.164` जूल
चूँकि बूँद की प्रारम्भिक गतिज ऊर्जा शून्य है इसलिए पृथ्वी पर पहुँचने पर उसकी गतिज ऊर्जा
`K=(1)/(2)mv^(2)=(1)/(2)xx(3.35xx10^(-5))xx(10)^(2)`
`=1.675xx10^(-3)` जूल
`therefore` गतिज ऊर्जा में परिवर्तन `DeltaK=1.675xx10^(-3)` जूल `" "`(`because` प्रारम्भिक गतिज ऊर्जा शून्य है)
यदि प्रतिरोधी बल द्वारा किया गया कार्य `W_(r)` है तो
गतिज ऊर्जा में परिवर्तन `= ` गुरुत्वीय बल द्वारा किया गया कार्य `+` प्रतिरोधी बल द्वारा किया गया कार्य
`DeltaK=W_(g)+W_(r)`
या `" "W_(r)=DeltaK-W_(g)`
`=1.675xx10^(-3)-0.164=-0.162` जूल|