अर्द्ध-शक्ति बिन्दु आवृत्तियों से क्या अभिप्राय है? एक LCR श्रेणी परिपथ के लिए बैण्ड चौड़ाई ज्ञात करने का व्यंजक प्राप्त कीजिए। प्रत्यावर्ती धारा व आवृत्ति के मध्य वक्र में अर्द्धशक्ति बिन्दु आवृत्तियों को दर्शाइए।

Explanation

अर्द्धशक्ति बिन्दु था आवृत्तियाँ (Half Power Points or Frequencies)चित्र में LCR श्रेणी परिपथ में आवृत्ति / परिवर्तन के साथ धारा `I_("rms")` के परिवर्तन को दर्शाया गया है। अनुनाद की स्थिति में अनुनादी आवृत्ति `f_(r)` पर धारा का मान अधिकतम `(I_("rms"))_("max")` होता है। इस आवृत्ति पर परिपथ में शक्ति क्षय `(I_("rms")^(2))_("max"))R` अधिकतम होगा। यहाँ `(I_("rms"))_("max")` अनुनाद पर प्रभावी धारा है।
अनुनादी आवृत्ति के दोनों ओर दो आवृत्तियाँ `f_(1)` और `f_(2)` पर परिपथ में शक्ति क्षय उसके अनुनादी मान का आधा होता है। इन आवृत्तियों `(f_(1),f_(2))` को अर्द्धशक्ति बिन्दु आवृत्तियाँ कहते हैं। वक्र के A और B बिन्दु 'अर्द्धशक्ति बिन्दु' कहलाते हैं। यदि इन बिन्दुओं पर प्रभावी धारा `I_("rms")` हो तो
`I_("rms")^(2)R=1/2(I_("rms"))_("max")^(2)R`
`I_("rms")=((I_("rms"))_("max"))/(sqrt2)`
`=0.707(I_("rms"))_("max")`
अत: अर्द्धशक्ति बिन्दुओं A और B पर धारा क-मान अधिकतम मान का `1/(sqrt2)` रह जाता है तथा परिपथ की शक्ति आधी रह जाती है, इन्हें अर्द्धशक्ति बिन्दु या आवृत्तियाँ कहते हैं।
बैण्ड चौड़ाई (Band Width)- अर्द्धशक्ति आवृत्तियों के मध्य आवृत्ति अन्तराल में LCR श्रेणी परिपथ स्त्रोत से अधिक ऊर्जा ग्रहण करने में समर्थ होता है। अर्द्धशक्ति आवृत्तियों के मध्य आवृत्ति अन्तराल को परिपथ की बैण्ड चौड़ाई कहते हैं। अर्थात्
बैण्ड चौड़ाई =`f_(2)-f_(1)`
अर्द्धशक्ति आवृत्तियों `f_(1)` और `f_(2)` पर
`I_("rms")=((I_("rms"))_("max"))/(sqrt2)` ….(1)
`(V_("rms"))/(sqrt(R^(2)+(Lomega-1/(comega))^(2)))=(V_("rms"))/(sqrt2R)`
या `R^(2)+(Lomega-1/(comega))^(2)=2R^(2)`
या `(Lomega-1/(comega))^(2)=R^(2)`
या `Lomega-1/(comega)=pmR` ......(2)
बिंदु A के लिए `Lomega_(1)-1/(comega_(1))=-R` ....(3)
बिंदु B के लिए `Lomega_(2)-1/(comega_(2))=R` .....(4)
समीकरण (3) और (4) को जोड़ने पर
`L(omega_(1)+omega_(2))=1/C(1/(omega_(1))+1/(omega_(2)))=0`
या `L(omega_(1)+omega_(2))=1/C((omega_(1)+omega_(2))/(omega_(1)omega_(2)))`
या `omega_(1)omega_(2)=1/(LC)`
इसी प्रकार समीकरण (4) में से (3) को घटाने पर
`2L(omega_(2)-omega_(1))+1/C(1/(omega_(1))-1/(omega_(2)))=2R`
या `L(omega_(2)-omega_(1))+1/C((omega_(2)-omega_(1))/(omega_(1)omega_(2)))=2R`
समीकरण (5) से `omega_(1),omega_(2)` का मान रखने पर
`2L(omega_(2)-omega_(1))=2R`
`(omega_(2)-omega_(1))=R/L` ...(6)
अत: बैण्ड चौड़ाई `=omega_(2)-omega_(1)=R/L`
या `f_(2)-f_(1)=R/(2piL)` ...(7)
उपर्युक्त समीकरण (7) से बैण्ड चौड़ाई का व्यंजक प्राप्त होता है।
प्रत्यावर्ती धारा व आवृत्ति के मध्य वक्र में अर्द्धशक्ति बिन्दु की आवृत्तियाँ