किन्ही दो समुच्यो A और B के लिए, सिद्ध कीजिये की `B subset A Leftrightarrow A cap B=B`.

Explanation

पहले मान लीजिये की `B subset A`, अब हमे दर्शना है की `A cap B=B`. चुकी `A cap B` का प्रत्येक अवयव B में है
अतएव `A cap B subset B .......(1)`
अब मानलों कि x, समुच्वय B का कोई अवयव है, तब
`x in B rArr x in B" और "x in B`
`rArr x in A" और "x in B," क्योंकि "`
अर्थात् `x in B rArr x in A cap B`
इसलिए `B subsetA cap B`
(1) व (2) से, `A cap B =B`.
विलोमतः, यदि `A cap B =B,` तो हमें दर्शाना है कि `Bsubset A.` अब, `A cap B =B rArr B subset A`
साथ ही `A cap B subset A`
इसलिए `B subset A," क्योंकि "A cap B=B ("दिया है")`
अंत: `B subset A Leftrightarrow A cap B=B ` इति सिद्धम्