सिद्ध कीजिए कि स्थितिज ऊर्जा की ऋणात्मक प्रवणता, संरक्षी बल के बराबर होती है।

Explanation

जब संरक्षी बल के कारण कार्य होता है तो उसकी स्थितिज ऊर्जा घटती है। इसे निम्न रूप में लिखा जा सकता है
`dW=-dU`
लेकिन कार्य की परिभाषा से
`dW=vecF.dvecr`
अतः `vecF.dvecr=-dU`
या `(F_(x)hati+F_(y)hatj+F_(z)hatk).(dx.hati+dy.hatj+dz.hatk)=-dU`
या `F_(x)dx+F_(y)dy+F_(z)dz=-dU`
U का आंशिक अवकलन करने पर
`F_(x)=(delU)/(detx), F_(y)=-(delU)/(dely),F_(z)=-(delU)/(delz)` ……..1
लेकिन `vecF=F_(x)hati+F_(y)hatj+F_(z)hatk`
समीकरण 1 से `vecF=-((delU)/(del x)hati+(delU)/(dely)hatj+(delU)/(delz)hatk)`
`-(hati(del)/(delx)+hatj(del)/(dely)+hatk (del)/(delz))U=vec(grad)U`
`vecF=-vec(grad)U=-"grad"U`