हाइड्रोजन परमाणु में यदि प्रारम्भ में इलेक्ट्रॉन मुख्य क्वाण्टम संख्या 3 के ऊर्जा स्तर में उत्तेजित है तो इसके निम्न ऊर्जा स्तरों में संक्रमण से हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम में कितनी विभिन्न तरंगदैर्ध्य प्रेक्षित होगी?

Explanation

nवे स्तर में उपस्थिति इलेक्ट्रॉन (n - 1)वे, (n - 2)वे, .....2वे, 1वे ऊर्जा स्तर में संक्रमण कर सकता है। इस प्रकार nवे ऊर्जा स्तर से `(n-1)` संक्रमण सम्भव है। इसी तर्क के आधार पर `(n-1)`वे स्तर में पहुँचने वाले इलेक्ट्रॉन `(n-2)` संक्रमण कर सकते है तथा इसी प्रकार अन्य निम्न ऊर्जा स्तरों के लिए संक्रमणो की गणना की जा सकती है।
इस प्रकार कुल सम्भव संक्रमणो की संख्या (माना N) होगी-
`N=(n-1)+(n-2)+(n-3)+....+2+1`
या `N=1+2+3+4....(n-1)` पद
हम जानते है- `1+2+3+4+....n` पद का योग `S_(n)=(n(n+1))/(2)` होता है।
चूँकि यहाँ पर पदों की संख्या `(n-1)` है, इसलिए
`N=((n-1)(n-1+1))/(2)`
`N=((n-1).n)/(2)=(n(n-1))/(2)`