m द्रव्यमान का एक गोलक L लंबाई की हल्की दूरी से लटका हुआ है । इसके निम्नतम बिंदु A पर क्षैतिज वेग `v_(0)` इस प्रकार लगाया जाता है कि यह ऊर्ध्वाधर तल में अर्द्धवृत्ताकार प्रक्षेप्य पथ को इस प्रकार तय करता है कि दूरी केवल उच्चतम बिंदु C पर ढीली होती है , जैसा कि चित्र में दर्शाया गया है । निम्न राशियों के लिए व्यंजक प्राप्त कीजिए -
( a ) `v_(0)`
( b ) बिंदुओं B तथा C पर गोलक की चाल तथा
( c ) बिंदु B तथा C पर गतिज ऊर्जाओं का अनुपात `((K_(B))/(K_(C)))`
गोलक के बिंदु C पर पहुँचने के बाद पथ की आकृति पर टिपण्णी कीजिये ।

Explanation

(a ) बिंदु A पर - गोलक की स्थितिज ऊर्जा शून्य होगी किन्तु गतिज ऊर्जा `K=(1)/(2)mv(0)^(2)`

`therefore ` बिंदु A पर कुल ऊर्जा `E=0+(1)/(2)mv_(0)^(2)`
`rArr" "E=(1)/(2)mv_(0)^(2)" ...(1)"`
गोलक की वृत्तीय गति के लिए
`T_(A)-mg=(mv_(0)^(2))/(L)" (अभिकेंद्र बल ) ...(2)"`
बिंदु C पर - गोलक की स्थितिज ऊर्जा `=mg.2L=2mgL`
तथा गतिज ऊर्जा `=(1)/(2)mv_(C)^(2),` जहाँ `v_(C)` बिंदु C पर चाल है।
`therefore` बिंदु C पर कुल ऊर्जा `E=2mgL+(1)/(2)mv_(C)^(2)" ...(3)"`
इस बिंदु पर वृत्तीय गति के लिए
`mg=(mv_(C)^(2))/(L)" "[therefore T_(C)=0]`
`therefore" "mv_(C)^()=mgL" ....(4)"`
समी. (3 ) में मान रखने पर,
`E=2mgL+(1)/(2)mgL`
`E=(5)/(2)mgL" ....(5)"`
समी. (1 ) और समी. (5 ) से,
`(1)/(2)mv_(0)^(2)=(5)/(2)mgL" ...(6)"`
`Arr" "v_(0)=sqrt(5gL)`
(b ) समी. (4 ) से,
`v_(C)^(2)=gL`
`v_(C)=sqrt(gL)`.
बिंदु B पर - गोलक कि कुल ऊर्जा `E=mgL+(1)/(2)mv_(B)^(2)`
समी. (1 ) से मान रखने पर,
`(1)/(2)mv_(0)^(2)=mgL+(1)/(2)mv_(B)^(2)`
समी. (6 ) से मान रखने पर,
`(5)/(2)mgL=mgL+(1)/(2)mv_(B)^(2)`
`rArr" "v_(B)^(2)=3gL`
`rArr" "v_(B)=sqrt(3gL).`
(c ) बिंदु B तथा C पर गतिज ऊर्जाओं का अनुपात
`(K_(B))/(K_(C))=((1)/(2)mv_(B)^(2))/((1)/(2)mv_(C)^(2))=(v_(B)^(2))/(v_(C)^(2))=(3gL)/(gL)=(3)/(1)`
`rArr" "K_(B):K_(C)=3:1`
बिंदु C पर गोलक का वेग बायीं ओर क्षैतिज दिशा में होता है । यदि इस बिंदु पर डोरी को काट दिया जाए तो गोलक की गति प्रक्षेप्य गति होगी अन्यथा इसकी गति वृत्तीय गति ही होगी ।