त्रिज्या R तथा लम्बाई `l` के एकसमान बेलन का उसके अभिलंब द्विभाजक के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण `I` है । जड़त्व आघूर्ण के निम्नतम मान के लिए अनुपात `l//R` का मान क्या होगा -

Options

A. `sqrt((3)/(2))`
B. `(sqrt3)/(2)`
C. `sqrt((2)/(3))`
D. `(3)/(sqrt2).`

Answer

A

Explanation

`M=piR^(2)lrho` (जहाँ घनत्व है।)
`rArr" "R^(2)=(M)/(pil.rho)" …(1)"`
अतः जड़त्व आघूर्ण `I=M((l^(2))/(12)+(R^(2))/(4))`
`=(Ml^(2))/(12)+(MR^(2))/(4)=(Ml^(2))/(12)+(M^(2))/(4pil rho)`
`=(Ml)/(6)+(M^(2))/(4pi rho)(d)/(dl)(l^(-1))`
`=(Ml)/(6)-(M^(2))/(4pi rho)(l^(-2))=(Ml)/(6)-(M^(2))/(4pi rhol^(2))`
I का मान न्यूनतम होगा यदि `(dI)/(dl)=0`
`therefore" "(Ml)/(6)-(M^(2))/(4pi rho l^(2))=0`
`rArr" "l=(3M)/(2pi rhol^(2)) rArr l^(3)=(3M)/(2pi rho)`
`rArr" "I=((3M)/(2pirho))^((1)/(3))" ...(2)"`
समीकरण (1 ) में मान रखने पर,
`R^(2)=(M)/(pi rho)xx((2pi rho)/(3M))^((1)/(3))=((M)/(pi rho))^((2)/(3))((2)/(3))^((1)/(3))`
या`" "R=((M)/(pi rho))^((1)/(3))xx((2)/(3))^((1)/(6))`
समीकरण (2 ) में समीकरण (4 ) का भाग देने पर,
`(l)/(R)=((3M)/(2pi rho))^((1)/(3))xx((pi rho)/(M))^((1)/(3)).((3)/(2))^((1)/(6))`
`=((3)/(2))^((1)/(3))xx((3)/(2))^((1)/(6))=((3)/(2))^((1)/(2))`