दो चक्रिकाएँ जिनके अपने - अपने अक्षों ( चलित के अभिलंबवत तथा चक्रिका के केंद्र से गुजरने वाले ) के परितः जड़त्व आघूर्ण `I_(1)` तथा `I_(2)` हैं और जो `omega_(1)` तथा `omega_(2)` कोणीय चालों में घूर्णन कर रही हैं , को उनके घूर्णन अक्ष संपाती करने सामने लाया जाता है । ( a ) इस दो चक्रिका निकाय की कोणीय चाल क्या है ? ( b ) यह दर्शाइए कि इस संयोजित निकाय की गतिज ऊर्जा दोनों चक्रिकाओं की आरंभिक गतिज ऊर्जाओं के योग से कम है । ऊर्जा में हुई इस हानि की आप कैसे व्याख्या करेंगे ? `omega_(1) ne omega_(2)` लीजिए |

Explanation

(a ) माना दोनों चक्रिका निकाय की कोणीय चाल है।तब कोणीय संवेग संरक्षण के नियम से, `I_(1)omega_(1)+I_(2)omega_(2)=(I_(1)+I_(2))xxomega`
या `" "omega=(I_(1)omega_(1)+I_(2)omega_(2))/(I_(1)+I_(2))`
(b ) चक्रिकाओं की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा
`E_(1)=(1)/(2)I_(1)omega_(1)^(2)+(1)/(2)I_(2)omega_(2)^(2)`
तथा अंतिम गतिज ऊर्जा `E_(2)=(1)/(2)(I_(1)+I_(2))omega^(2)`
`=(1)/(2)(I_(1)+I_(2))((I_(1)omega_(1)+I_(2)omega_(2))/(I_(1)+I_(2)))^(2)`
`=((I_(1)omega_(1)+I_(2)omega_(2))^(2))/(2(I_(1)+I_(2)))`
`therefore` गतिज ऊर्जा में परिवर्तन `DeltaK=E_(1)-E_(2)`
`=(1)/(2)I_(1)omega_(1)^(2)+(1)/(2)I_(2)omega_(2)^(2)-((I_(1)omega_(1)+I_(2)omega_(2))^(2))/(2(I_(1)+I_(2)))`
`=(1)/(2(I_(1)+I_(2)))[I_(1)omega_(1)^(2)(I_(1)+I_(2)+I_(2))omega_(2)^(2)(I_(1)+I_(2))-(I_(1)omega_(1)+I_(2)omega_(2))^(2)]`
`=(1)/(2(I_(1)+I_(2)))[I_(1)I_(2)omega_(1)^(2)+I_(1)I_(2)omega_(2)^(2)-2I_(1)I_(2)omega_(1)omega_(2)]`
या `" "DeltaK=(I_(1)I_(2))/(2(I_(1)+I_(2)))(omega_(1)-omega_(2))^(2)`
चूँकि `omega_(1)ne omega_(2),(omega_(1)-omega_(2))^(2)` धनात्मक होगा। अतः गतिज ऊर्जा में हानि होगी। इसका कारण यह है कि विभिन्न कोणीय चाल वाली दोनों चक्रिकाओं को जोड़ने पर उनकी सतहों के बीच घर्षण बल कार्य करता है। इसी घर्षण बल के कारण गतिज ऊर्जा में हानि होती है।
यही सिद्ध करना था ।