कणों के किसी निकाय की गति को इसके द्रव्यमान केंद्र की गति और द्रव्यमान केंद्र के पारित : गति में अलग - अलग विचार करके दर्शाइए कि-
(a) `vecp=vec(p'_(i))+M vecV,` जहाँ `vec(p_(i))` (`m_(i)` द्रव्यमान वाले ) `i` - वें कण का संवेग है, और `vec(p'_(i))=m_(i)vec(v'_(i))`| ध्यान दें कि `vec(v'_(i))` द्रव्यमान केंद्र के सापेक्ष `i`- वें कण का वेग है । द्रव्यमान केंद्र की परिभाषा का उपयोग करके यह भी सिद्ध कीजिए कि `Sigmavec(p'_(i))=0. `

Explanation

चित्र में O किसी निर्देश तंत्र का मूलबिंदु, C कणों के द्रव्यमान केंद्र की स्थिति तथा `D, m_(i)` द्रव्यमान वाले `i` - वें कण की स्थिति है ।

मानलो `vecR` द्रव्यमान केंद्र का स्थिति सदिश तथा `vecr_(i), i` - वें कण का स्थिति सदिश है । `vecV` द्रव्यमान केंद्र का वेग तथा `vec(v_(i)),i` - वें कण का वेग है ।
`"तब "vec(r'_(i))=vec(r_(i))-vecR" या "vec(r_(i))=vec(r'_(i))+vecR" ...(1)"`
`"तथा "vec(v'_(i))=vec(v_(i))-vecV" या "vec(v_(i))=vec(v'_(i))+vecV" ...(2)"`
(a) `i-` वें कण का संवेग `vec(p_(i))=m_(i).vec(v_(i))`
`=m_(i)(vec(v'_(i))+vecV)`
`=m_(i).vec(v'_(i))+m_(i)vecV`
`=vec(p'_(i))+m_(i).vecV" ...(3)"`
अतः `vecp=Sigmavec(p_(i))=Sigma(vec(p'_(i))+m_(i).vecV)`
`=Sigmavec(p'_(i))+Sigma m_(i).vecV=Sigma vec(p'_(i))+vecV Sigmavec(m_(i))`
या `" "vecp=Sigma vec(p'_(i))+M vecV" ...(4)"`
जहाँ `" "M=Sigmam_(i)`
अब द्रव्यमान केंद्र की परिभाषा से,
`vecR=(Sigmam_(i)vec(r_(i)))/(M)`
`therefore" "vecV=(dvecR)/(dt)=(d)/(dt)((Sigma m_(i)vec(r_(i)))/(M))=(1)/(M)Sigma m_(i)vec(v_(i)),`
`" "[because (dvec(r_(i)))/(dt)=vec(v_(i))]`
`=(vecp)/(M)`
समी. (4 ) में मान रखने पर,
`vecp=Sigmavec(p_(i))+Mxx(vecp)/(M)`
या `vecp=Sigma vec(p'_(i))+vecp`
`therefore" "Sigmavec(p'_(i))=0." "` यही सिद्ध करना था।