कणों के किसी निकाय की गति को इसके द्रव्यमान केंद्र की गति और द्रव्यमान केंद्र के पारित : गति में अलग - अलग करके विचार करना दर्शाइए कि-
(b) `K=K'+1//2MV^(2)`
K कणों के निकाय की कुल गतिज ऊर्जा, K' = निकाय की कुल गतिज ऊर्जा जबकि कणों को गतिज ऊर्जा द्रव्यमान केंद्र के सापेक्ष ली जाये | `MV^(2)//2` संपूर्ण निकाय के ( अर्थात निकाय के द्रव्यमान केंद्र के ) स्थानांतरण की गतिज ऊर्जा है ।

Explanation

चित्र में O किसी निर्देश तंत्र का मूलबिंदु, C कणों के द्रव्यमान केंद्र की स्थिति तथा `D, m_(i)` द्रव्यमान वाले `i` - वें कण की स्थिति है ।

मानलो `vecR` द्रव्यमान केंद्र का स्थिति सदिश तथा `vecr_(i), i` - वें कण का स्थिति सदिश है । `vecV` द्रव्यमान केंद्र का वेग तथा `vec(v_(i)),i` - वें कण का वेग है ।
`"तब "vec(r'_(i))=vec(r_(i))-vecR" या "vec(r_(i))=vec(r'_(i))+vecR" ...(1)"`
`"तथा "vec(v'_(i))=vec(v_(i))-vecV" या "vec(v_(i))=vec(v'_(i))+vecV" ...(2)"`
कणों के निकाय की कुल गतिज ऊर्जा
`K=(1)/(2)Sigmam_(i)(vec(v'_(i))+vecV).(vec(v_(i))+vecV)`
समी (2 ) से मान रखने पर,
`K=(1)/(2)Sigmam_(i)(vec(v'_(i))+vecV).(vec(v'_(i))+vecV)`
`=(1)/(2)Sigmam_(i)(vec(v'_(i))+vec(v'_(i))+2vec(v'_(i)).vecV+vecV.vecV)`
`=(1)/(2)Sigmam_(i)(vec(v'_(i)^(2))+2vec(v'_(i)).vecV+V^(2))`
`=(1)/(2)Sigmam_(i)vec(v'_(i)^(2))+Sigmam_(i).vec(v'_(i)).vecV+(1)/(2)Sigma_(i)V^(2)`
`=K'+vecV.Sigmam_(i)vec(v'_(i))+(1)/(2)V^(2)Sigmam_(i)`
`=K'+vecV.Sigmavec(p_(i))+(1)/(2)V^(2)M, " "[becauseSigmam_(i)=M,p_(i)=m_(i)vec(v'_(i))]`
समी. (5 ) से, `Sigmavec(p_(i))=0`
`therefore" "K=K'+0+(1)/(2)MV^(2)`
या `" "K=K'+(1)/(2)MV^(2)." "`यही सिद्ध करना था ।