एक कण को पृथ्वी ( त्रिज्या R ) की सतह से ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंका जाता है । इसकी प्रारंभिक गतिज ऊर्जा , पलायन हेतु आवश्यक न्यूनतम ऊर्जा की आधी है । बताइये कण पृथ्वी की सतह से कितनी ऊँचाई तक जाएगी ?

Explanation

कण के पृथ्वी की सतह से पलायन हेतु आवश्यक न्यूनतम ऊर्जा `=(GMm)/(R)`
अतः प्रश्नानुसार कण की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा `=(1)/(2)(GMm)/(R)`
यदि कण h ऊँचाई तक ऊपर जाता है तो उसकी प्रारंभिक गतिज ऊर्जा उस कण को R से `R+h` दूरी तक ऊपर ले जाने में किये गये कार्य के बराबर होगी ।
इस प्रकार,
`W=int_(R)^(R+h)(GMm)/(R)dx,`
`=GMm int_(R)^(R+h)(dx)/(x^(2)),`
`=GMm[(x^(-1))/(-1)]_(R)^(R+h)=GMm[-(1)/(x)]_(R)^(R+h)`
`=GMm[(-1)/(R+h)+(1)/(R)]=(GMm.h)/(R(R+h))`
अतः `" "(1)/(2)(GMm)/(R)=(GMm.h)/(R(R+h))`
या `" "2Rh=R^(2)+Rh` या ` Rh=R^(2)`
`therefore" "h=R`
अतः कण पृथ्वी की सतह से पृथ्वी की त्रिज्या के बराबर ऊँचाई तक जाएगी ।