समान त्रिज्या R परन्तु द्रव्यमान M तथा 4M द्रव्यमान के दो एकसमान ठोस गोले इस प्रकार रखें हैं कि इनके केंद्रों के बीच पृथकन चित्र में दर्शाएं अनुसार 6R है। दोनों गोले स्थिर रखे गए हैं। m द्रव्यमान के किसी प्रक्षेप्य को M द्रव्यमान के गोले के पृष्ठ से 4M द्रव्यमान के गोले के केंद्र की ओर सीधे प्रक्षेपित किया जाता है। प्रक्षेप्य की उस न्यूतम चाल के लिए व्यंजक ज्ञात कीजिए जिससे फेंके जाने पर वह दूसरे गोले तक पहुँच जाए।

Explanation

दोनों गोलों के बीच प्रक्षेप्य विपरीत दिशाओं में कार्यरत गुरुत्वीय बलों के प्रभाव में गति करेगा। दोनों के मध्य एक बिंदु N (उदासीन बिंदु) होगा, जिस पर दोनों गुरुत्वीय बल परिमाण में बराबर होंगे किन्तु दिशाएँ विपरीत होंगी।
मानलो पहले गोले के केंद्र O से बिंदु N की दुरी r है। तब दूसरे गोले के केंद्र C से इसकी दुरी `(6R - r )` होगी । अतः बिंदु N पर
`(GMm)/(r^(2))=(G4M.m)/((6R-r)^(2))`
या `" "(1)/(r^(2))=(4)/((6R-r)^(2))`
या`" "(6R-r)^(2)=4r^(2)`
या `" "6R-r=pm2r`
धन चिन्ह लेने पर,
`6R-r=2r`
या `" "r=2R`
ऋण चिन्ह लेने पर,
`6R-r=-2r`
या`" "r=-6R`
`r=-6R` होने पर बिंदु N दोनों गोलों के बाहर होगा। अतः r का यह मान संभव नहीं है। अतः `r = 2R`
मानलो प्रक्षेप्य को M द्रव्यमान के गोले के पृष्ठ से v वेग से प्रक्षेपित किया जाता है।
इस गोले के पृष्ठ पर प्रक्षेप्य की कुल यांत्रिक ऊर्जा
`=` गतिज ऊर्जा `+` स्थितिज ऊर्जा
`=(1)/(2)mv^(2)-(GMm)/(R)-(4GMm)/(5R)`
`=(1)/(2)mv^(2)-(9GMm)/(5R),` [`because` पहले गोले के केंद्र से प्रक्षेप्य की दुरी R तथा केंद्र से दुरी 5 R है।]
बिंदु N पर प्रक्षेप्य की चाल शून्य होगी। अतः उसमे केवल स्थितिज ऊर्जा होगी।
इस प्रकार बिंदु N पर कुल यांत्रिक ऊर्जा
`=(-GM.m)/(r)-(G.4Mm)/(6R-r)`
`=(-GMm)/(2R)-(4GMm)/(4R)`
`=-(3GMm)/(2R)`
ऊर्जा संरक्षण के नियम से,
`(1)/(2)mv^(2)-(9GMm)/(5R)=(-3G.Mm)/(2R)`
`(1)/(2)v^(2)-(9GM)/(5R)=-(3)/(2)(GM)/(R)`
या `(1)/(2)v^(2)=(9GM)/(5R)-(3)/(2)(GM)/(R)`
`v^(2)=(2GM)/(R)((9)/(5)-(3)/(2))=(GM)/(R)xx(3)/(5)=(3GM)/(5R)`
`therefore" "v=sqrt((3GM)/(5R)).`