एक वस्तु तथा पर्दे के बीच की दुरी D है तथा इनके बीच f फोकस दुरी का उत्तल लेंस रखा है। सिद्ध कीजिये कि वस्तु का पर्दे पर प्रतिबिम्ब प्राप्त करने के लिए D का न्यूनतम मान 4f होना चाहिए। यदि प्रतिबिम्ब का आवर्धन m हो तो सिद्ध कीजिये कि
`f = (mD)/((m + 1)^(2))`

Explanation

दिया है `u + v = D :. u= (D-v)`
चिह्र परिपाटी के अनुसार,
`u = -(D-v)`
`:.` लेंस सूत्र `(1)/(v) - (1)/(u) = (1)/(f)` से,
`(1)/(v) - (1)/((D-v)) = (1)/(f)`
या `(1)/(v) + (1)/((D-v)) = (1)/(f)`
या `(D-v + v)/(v(D-v)) = (1)/(f)`
या `(D)/(vD-v^(2)) = (1)/(f)`
या `Df = vD = v^(2)`
या `v^(2) -vD + Df = 0`
इस समीकरण को हल करने के लिए श्रीधराचार्य प्रमेय का उपयोग करने पर,
`v = (D +- sqrt(D^(2) - 4fD))/(2)`
v के वास्तविक मान के लिए,
`(D^(2) - 4fD) gt 0`
या `D^(2) gt 4fD`
या `D gt 4f`
अर्थात वस्तु तथा पर्दे के बीच कि न्यूतनम दुरी (D) का मान 4f होना चाहिए।
अब आवर्धन `m = (v)/(u)` ...(1)
और `u + v = D` ...(2)
समी (1) v = mu
से, समी (2) में v का मान रखने पर,
`u + mu = D`
या `u (1 + m) = D`
`u = (D)/(1 + m)` ...(3)
पुन: समी (1) से,
`u = (v)/(m)`
समी (2) में u का मान रखने पर,
`(v)/(m) + v = D`
या `v((1)/(m) + 1) = D` या `v((1 + m))/(m) = D`
`:. v= (mD)/((1 + m))` …(4)
`:'` लेंस -सूत्र `(1)/(v) - (1)/(u) = (1)/(f)`
और वास्तविक प्रतिबिम्ब के लिए v धनात्मक तथा u ऋणात्मक होता है, अंत:
`(1)/(v) - (1)/(-u) = (1)/(f)`
या `(1)/(v) + (1)/(u) = (1)/(f)`
समी (3) व (4) से u व v के मान रखने पर,
`((1 + m))/(mD) +((1 + m))/(D) = (1)/(f)`
या `(1)/(f) = (1 + m)/(mD) + (1 + m)/(D)`
`(1)/(f) = (1 + m + m + m^(2))/(mD)`
`= ((1 + 2m + m^(2)))/(mD) = ((1 + m)^(2))/(mD)`
`f = (mD)/((1 + m)^(2))`