किसी तल में गतिमान एक कण के निर्देशांक `x(t) =acos pt ` तथा `y(t) =bsin pt ` है, जहाँ `a,b(blta) ` तथा p उपयुक्त विमाओं वाले धनात्मक नियतांक है तब

Options

A. कण का पथ एक दीर्घवृत (Elipse ) है।
B. `t=pi //2p` पर कण का वेग तथा त्वरण एक-दूसरे के लंबवत है।
C. कण के त्वरण की दिशा सदैव दीर्घवृत के फोकस (Focus ) की ओर है।
D. उपर्युक्त सभी सही है।

Answer

D

Explanation

` x= acos pt rArr =(x)/(a) `
` " " y= b sin pt rArr sin pt =(y)/(b) `
समी(i ) व ( ii ) का वर्ग करके जोड़ने पर ,
` " "cos ^(2) pt + sin ^(2) pt =(x^(2))/( a^(2)) +(y^(2))/( b^(2)) `
` " " (x^(2))/( a^(2)) +(y^(2)) /( b^(2)) =1`
अतः कण का पथ दीर्घवृताकार होगा। अतः विकल्प (a ) सही है। दी गई समीकरणों से

` (dx)/( dt) = v_x =-ap sin pt `
` therefore " "(d^(2) x)/( dt^(2)) =a_t =-ap^(2) cos pt `
तथा ` " "(dy)/(dt) =v_y =bp cos pt `
` therefore " "(d^(2) y)/( dt^(2) ) =a_y=-bp^(2) sin pt `
समय ` t=pi //2p ` या ` pt =pi//2` पर ` a_x` तथा `v_y` के मान शून्य होंगें (क्योंकि `cos"" (pi)/(2) =0) ` और` v_x` तथा ही शेष रहेगें।
स्पष्ट है की वेग की दिशा ऋणात्मक x -अक्ष में तथा त्वरण की दिशा y -अक्ष `t=( pi )/(2p) ` पर वेग तथा त्वरण एक-दूसरे के लम्बवत होंगें। अतः विकल्प (b ) सही है।