` 10^(-2)` kg द्रव्यमान का एक कण किसी बल `F(x) =-k//2x^(2) ` के prabhav में धनात्मक x अक्ष की दिशा में गतिमान है (`k=10 ^(-2) ` न्यूटन-मी `""^(2 )) `। समय t =0 पर कण की स्थिति x `1.0` मी पर हो तो उसका वेग v =0 है।
(a ) जब कण स्थिति `x=0.5` मी पर हो तो इसका वेग ज्ञात कीजिए।
(b) कण द्वारा ` x=0.25` मी की स्थिति प्राप्त karne में कण द्वारा liya गया समय ज्ञात कीजिए।

Answer

A, B, D

Explanation

(a) ` F(x) =(-k)/( 2x^(2))`
चूँकि k तथा `x^(2)` दोनों ही धनात्मक है अतः F (x ) का मान सदैव ऋणात्मक होगा।

A व् B के बीच कार्य-ऊर्जा प्रमेय से , A व् B के बीच गतिज ऊर्जा में अंतर =A व् B के बीच बल द्वारा कृत कार्य अर्थात
` therefore " "(1)/(2) mv^(2) =-int _(x=1.0) ^(x=0,5) F(x) dx`
`" "=int _(1.0)^(0.5) ((-k)/( 2x^(2))) dx`
` " "=-(k)/(2) int _(1.0)^(0,5) (1)/(x^(2)) dx`
` " "((k)/(2) ) ((1)/( 0.5) -(1)/(1.0) ) =(k)/(2)`
` therefore " " v=+-sqrt((k)/(m)) `
माना प्रतिस्थापित करने पर ,
` " "V=+- sqrt((10^(-2))/( 10^(-2))) =+- 1` मी/से
इस प्रकार `x=1.0` मी पर कण का वेग `v=-1.0` मी/से ऋण चिन्ह यह दर्शता है की वेग की दिशा ऋणात्मक x अक्ष की दिशा में है।
x के किसी भी मान के लिए कार्य-ऊर्जा प्रमेय से ,
` " "(1)/(2) mv^(2) =int _(1.0)^(x) (-kdx)/( 2x^(2)) `
` " " =(k)/(2) ((1)/(x)) ^(*x) `
` " "= (k)/(2) ((1)/( x)-1)`
या ` " "v^(2) =(k)/(m) ((1)/(x) -1) `
या ` " " v= sqrt(((1)/(x) - 1)) `
या ` " " v = sqrt(((1)/(x)-1)) , " "( because (k)/(m) =(10 ^(-2))/( 10 ^(-2)) =1 ` मी `""^(2 ) ` /से`""^(2 ) ` )
परन्तु ` " " v=- ((dx)/( dt) ) =sqrt(( 1-x)/(x))`
` therefore " "int sqrt((x)/(1-x)) dx-int dt `
या ` int _(1)^(0.25) sqrt((x)/(1-x) )dx =-int _0^(t) dt`
हल करने पर ` t=1.48 ` सेकंड