2m द्रव्यमान का एक ब्लॉक चित्रानसार 4m द्रव्यमान के एक अन्य ब्लॉक B पर रखा है जो एक स्थिर मेज पर स्थित है। दोनों व्लॉक एक ही लम्बाई 4d कहा ब्लॉक B तथा मेज के मध्य घर्षण गुणांक (स्थितिज तथा गतिज दोनों) है। दोनों क्लॉको के मध्य घर्षण नहीं है। m द्रव्यमान की एक छोटी वस्तु B के द्रव्यमान केन्द्र में से गुजरने वाली तथा इसके फलक के लम्बवतु रेखा के अनुदिश वेग से चल रही है तथा मेज से d ऊँचाई पर ब्लोंक B से पत्यास्थ टक्कर करती है।
(a) v का वह न्यूनतम मान (माना `v_(0))` क्या होगा जिससे की ब्लॉक A गिरे पड़े?
(b) यदि `v= 2_(0)` हो तो चित्र में P से बह दूरी क्या होगी, जहाँ द्रव्यमान m टक्कर के बाद मेज पर गिरता है? (टककर के दौरान घर्षण नगण्य माना गया है)

Answer

(a) `5/2 sqrt(6 mugd),` (b) `6d sqrt(3mu)`

Explanation

माना संघट्ट के तुरंत बाद m तथा 4m द्रव्यमानो के ब्लॉकों के वेग क्रमश `v_(1)" तथा "v_(2)` है तब सवेग संरक्षण के नियम से
`mv=mn_(1)+4mv_(2)`
अर्थार्त `v=v_(1)+4v_(2) .............(i)`
पुनः चुकी संघटट प्रतस्थ है अंत:
`1/2 mv^(2)=1/2 mv_(1)^(2)+1/2 4mv_(2)^(2)`
अर्थार्त `v^(2)=v_(1)^(2)+4v_(1)^(2)......(ii)`
समी (i) व् (ii) को हल करने पर
`v_(2)=0" या "2/5 v`
`v=2/5 v" लेने पर "v_(1)=3/5 v`
यदि `v_(2)=0" है तो "v_(1)=v_(2)` परन्तु यह भौतिक रूप से स्वीकार्य नहीं है
(a) संघटट के पश्चात ब्लॉक `B,v_(2)` वेग से दायी ओर गति करेगा। चांके A तथा B के मध्य कोई घर्षण नहीं है अत: ब्लॉक A यथास्थिति में रहेगा तथा इसके गिरने के लिए B दूरी चलेगा है, `s gt 2d ...(iii)`
परन्तु B की गति को `f=mu(4m+2m)g` घर्षण बल द्वारा अवरुद्ध किया जाएगा, यह बल B तथा मेज की सतह के मध्य कार्यरत् होगा। इस प्रकार B द्वारा रुकने से पूर्व तय की गयी दूरी
`0=v_(2)^(2)-2 ((6mu mg)/(4m))s`
अर्थार्त `s=(v_(2)^(2))/(3 mug)`
यह मान समी (iii) में प्रतिस्थापित करने पर,
`v_(2)^(2) gt 6 mugd" या "2/5 v gt sqrt(6 mugd) [therefore v_(2)=(2v)/(5)]`
अर्थात `v gt 5/2 sqrt(6 mugd)" या "v_("न्यूनतम")=v_(0)=5/2 sqrt(6mugd)`
(b) यदि `v=2v_(0)=5 sqrt(6mugd)`, तब वस्तु निम्न चाल से
उछलेगी `v_(1)=3/5 v=3 sqrt(6mugd)`
निचे गिरने में लगा समय `t=sqrt((2h)/(g))=sqrt((2d)/(g))" "[therefore h=d]`
t समय में क्षैतिज दिशा में (P के बाई और) चली गयी दुरी,
`x=v_(1)t=6d sqrt(3mu)`