L लम्बाई तथा M द्रव्यमान का एक सर्वत्रसम पतला दण्ड चिकने क्षैतिज तल पर y-अक्ष के अनुदिश ऊर्ध्वाधर खड़ा है। दण्ड का निचला सिरा मूलबिन्दु (0, 0) पर है। समय t= 0 पर दण्ड में अल्प विक्षोभ उत्पन्न करने पर उसका निचला सिरा घन x- अक्ष की दिशा में चिकनी सतह पर फिसलने लगता है। तथा दण्ड गिरना प्रारम्भ हो जाता है।
(a) गिरने के दौरान दण्ड के द्रव्यमान केन्द्र का पथ क्या होगा?
(b) दण्ड पर निचले सिरे से दूरी पर स्थित एक बिन्दु के प्रक्षेप्य पथ का समीकरण ज्ञात कीजिए। इस बिन्दु के पथ का आकार क्या है?

Answer

(a) सरल रेखा (b) `(x^(2))/(L/2-r)^(2)+y^(2)/r^(2)=1" दीर्घवृत"`

Explanation

(a) दण्ड पर केवल दो बल कार्य कर रहे हैं, उसका भार Mg (ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर) तथा स्पर्श बिन्दु B पर अभिलम्ब प्रतिक्रिया न (ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर)। दण्ड पर कोई क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा है (अत: CM ऋणात्मक)

अंत: CM y-अक्ष की दिशा में ऊर्ध्वाधर निचे की और जायेगा अर्थार्त CM का मार्ग एक सरल रेखा है
(b) चित्र (b) से r दुरी पर स्थित बिंदु P(x,y) का पथ ज्ञात करना है
`CB=L/2`
`therefore OB=(L/2) cos theta`
`MB=r cos theta`
`x=OB-MB=cos theta (L/2-r)`
या `cos theta=(x)/(L/2-r) .....(i)`
इसी प्रकार `y=r sin theta`
या `sin theta=y/r ......(ii)`
समी (i) व् (ii) को वर्ग करके जोड़ने पर
`sin^(2) theta+cos^(2) theta=(x^(2))/(L/2-r)^(2)+y^(2)/r^(2)`
`(x^(2))/(L/2-r)^(2)+y^(2)/r^(2)=1....(iii)`
समी (iii) दीर्घवृत का समीकरण है। अंत: बिंदु P का पथ दीर्घवृताकार (Elliptical) होगा।