दो रेडियो स्टेशन अपने कार्यक्रम समान आयाम A तथा कम अंतर वाली आवृत्तियों `omega_1` व `omega_2` जहाँ `omega_1-omega_2=10^4` हर्ट्ज के साथ प्रसारित करते हैं। एक अनुसंधानकर्ता को दोनों स्टेशनों के सिग्नल एक साथ प्राप्त होते हैं यह केवल तीव्रता `gt 2A^2` वाले सिग्नल को प्रसारित कर सकता है। दो क्रमागत उच्चिष्ठों के बीच अनुसंधानकर्ता को समयान्तराल प्राप्त होता है

Answer

(a) `6 . 28 xx 10^(-3)` सेकण्ड , (b) `1 . 57xx 10^(-3) ` सेकण्ड

Explanation

(a) यदि संसूचक x = 0 पर है , तब दो रेडियो तरंगे निम्न समीकरणों द्वारा प्रदर्शित होगी, `y_(1) = A sin omega_(1) t` तथा `y_(2) = A sin omega_(2) t`
(यहाँ `A_(1) = A_(2) = A` ) अध्यारोपण के सिद्धान्त से
`y = y_(1) + y_(2) = A = sin omega_(1) t + A sin omega_(2) t`
या `y = 2A cos ((omega_(1) - omega_(2))/(2)t) sin ((omega_(1) + omega_(2))/(2)t)`
`= A_(0) sin ((omega_(1) + omega_(2))/(2)t)`
यहाँ `A _(0) = 2A cos ((omega_(1) - omega_(2))/(2)t)`
`I prop (A_(0))^(2) prop (4A^(2)) cos^(2) ((omega_(1)-omega_(2))/(2)t)`
अतः अधिकतम तीव्रता के लिए `cos^(2) ((omega_(1)-omega_(2))/(2)t)` = अधिकतम =1
या `cos ((omega_(1) - omega_(2))/(2)t) = pm 1`
या `(omega_(1) - omega_(2))/(2) t = 0, pi, 2 pi` . . . .
अर्थात् `t = 0,(2pi)/(omega_(1) - omega_(2)), (4 pi)/(omega_(1) - omega_(2)), . . . (2npi)/(omega_(1) - omega_(2)) , n = 0, 1, 2 . . . `
दो क्रमागत उच्चिष्ठो के मध्य समयान्तराल ` = (2pi)/(omega_(1)-omega_(2)) = (2pi)/(10^(3))` सेकण्ड
`= 6 . 28 xx 10^(-3)` सेकण्ड
(b) संसूचक , संसूचन कर सकता है यदि तीव्रता ` ge 2A^(2)`
या परिणामी आयाम `ge sqrt(2)A`
अतः `2 A cos ((omega_(1) - omega_(2))/(2)t) ge sqrt(2) A`
`cos((omega_(1) - omega_(2))/(2)t) ge (1)/(sqrt(2))`
अतः संसूचक निष्क्रिय रहेगा जब
`cos ((omega_(1) - omega_(2))/(2)t)` का मान 0 तथा `(1)/(sqrt(2))` के बीच है।
अर्थात् जब `((omega_(1) - omega_(2))/(2)t) (pi)/(2)` तथा `(pi)/(2)` के बीच है।
या ` t, (pi)/(omega_(1)- omega_(2)) ` तथा `(pi)/(2 (omega_(1)-omega_(2)))` के बीच है।
`:. Delta t = (pi)/(omega_(1) - omega_(2)) - (pi)/(2(omega_(1) - omega_(2)))`
`= (pi)/(2 xx 10^(3))= 1 . 57 xx 10^(-3)` सेकण्ड
अतः संसूचक प्रत्येक चक्र में `1 . 57 xx 10^(-3)` सेकण्ड के लिए निष्क्रिय रहेगा ।