3 . 6 मी लम्बा एक ऊर्ध्वाधर पाइप 212 . 5 हर्ट्ज आवृत्ति के एक स्रोत के साथ अनुनादित होता है जबकि पाइप में जल का तल कुछ विशेष ऊँचाइयों पर है जल के तल कीव ऊँचाइयों (पाइप की ताली से) ज्ञात कीजिए जिन पर अनुनाद उत्पन्न होता है। अंत्य - संशोधन को नगण्य लिया जा सकता है। अब पाइप को ऊँचाई H (`~~` 3 . 6 मी ) एक जल भरा जाता है। इसकी ताली के अति समीप एक महीन छिद्र किया जाता है , जिसमें से जल टपकने लगता है। पाइप में जल के तल के गिरने की दर H के फलन के रूप में प्राप्त कीजिए । यदि पाइप तथा छिद्र की त्रिज्याएँ क्रमशः `2 xx 10^(-2)` मी तथा `1 xx 10 ^(-3)` मी है तो प्रथम दो अनुनाद उत्पन्न होने की बीच का समय अन्तराल ज्ञात कीजिए। वायु में ध्वनि की चाल = 340 मी / से की तथा g = 10 मी / `""से^(2)` है।

Answer

3 . 2 मी , 2 . 4 मी , 16 मी , 0 . 8 मी , - `(dH)/(dt) = (1.11 xx 10^(-2)) sqrt(H), 43 ` सेकण्ड

Explanation

ध्वनि की चाल v = 340 मी / से
माना मूल आवृत्ति के संगत वायु स्तम्भ की लम्बाई `l_(0)` है , तब
`(v)/(4l_(0)) = 212.5` या `l_(0) = (v)/(4(212.5))=(340)/(4(212.5))=0 . 4 ` मी
बन्द पाइप में केवल विषम संनादि (Odd harmonics) उत्पन्न होंगे । मन तीसरे , चौथे , सातवें . . . . . आदि संनादियों के संगत लम्बाइयाँ क्रमशः `l_(1), l_(2), l_(3), l_(4), . . . . ` आदि है। तब
`3 ((v)/(4l_(1))) = 212.5 rArr l_(1) = 1.2 ` मी
`5((v)/(4l_(2))) = 212.5 rArr l_(2) = 2 . 0` मी
`7 ((v)/(4l_(3))) = 212 . 5 rArr l_(3) = 2 . 8 ` मी
`9 ((v)/(4l_(4))) = 212 . 5 rArr l_(4) = 3 . 6 ` मी
जल स्तर की ऊँचाइयाँ है : (3 . 6 - 0 . 4 ) मी = 3 . 2 मी , (3 . 6 - 12) मी = 2 . 4 मी , (3 . 6 - 2 . 0) मी = 1.6 मी, (3 . 6 - 2 . 8) मी = 0 . 8 मी ।
माना पाइप तथा छिद्र के अनुप्रस्थ क्षेत्रफल क्रमशः A तथा a है , तब
`A = pi (2 xx 10^(-2)) = 1.26 xx 10^(-3) ""मी^(2)`
तथा `a = pi (10^(-3))^(2) = 31 . 4 xx 10^(-6) ""मी^(2)`
प्रवाह का वेग `v = sqrt(2gH)`
बिन्दु 1 व 2 पर अविरत्ता के सिद्धान्त से
` a sqrt(2gH)= A (-(dH)/(dt))`
`:.` पाइप में जल स्तर में कमी की दर ,`(-(dH)/(dt)) = (a)/(A) = sqrt(2gH)`
या `(-(dH)/(dt)) = (3.14 xx 10^(-6))/(1.26 xx 10^(-3)) sqrt(2 xx 10 xx H)`
या ` - (dH)/(dt) = (1.11 xx 10^(-2)) sqrt(H)`
प्रथम को अनुमाद की स्थितियों की बीच जल स्तर 3 . 2 मी से 2 . 4 मी पर आ जाता है।
`:. (dH)/(sqrt(H))= - (1.11 xx 10^(-2)) dt`
या `int_(3.2)^(2.4) (dH)/(sqrt(H)) = - (1.11 xx 10^(-2)) int_(0)^(1) dt`
या `2 [ sqrt(2 . 4) - sqrt(3 . 2) ] = - [ 1 . 11 xx 10^(-2) ] t`
`rArr t ~~ 43` सेकण्ड