सदिश संयोजन में क्रम-विनिमय और साहचर्य नियम का पालन होता है, समझाइए।

Explanation

(i)सदिश संयोजन में क्रम-विनिमय नियम- यदि सदिश `veca` और `vecb` दो सदिश हों तो
`veca+vecb=vecb+veca`
उपपत्‍ति –माना सदिश `veca` और सदिश `vecb` को क्रमशः `vec(OA)` और `vec(OB)` द्वारा निरूपित किया जाता है। अतः `vec(OA)=veca` व `vec(AB)=vecb` है।
त्रिभुज के सदिश योग नियम से
`vec(OB)=vec(OA)+vec(AB)`
`vec(OB)=veca+vecb`………..1

समांतर चतुर्भुज OABC को पूरा करते हैं जिसकी OA व AB दो संलग्न भुजाएं हैं
`:.vec(CB)=vec(OA)=veca` और
`vec(OC)=vec(AB)=vecb`
पुनः सदिश योग के त्रिभुज नियम द्वारा
`vec(OB)=vec(OC)+vec(CB)=vecb+veca`
`vec(B)=vecb+veca`…………2
अतः समीकरण 1 और 2 से
`veca+vecb=vecb+veca`
अतः इससे नियम सिद्ध हो जाता है।
(ii) सदिश योग में साहचर्य नियम- यदि `veca,vecb` व `vecc` कोई तीन सदिश हों तो
`(veca+vecb)+vecc=veca+(vecb+vecc)`
उपपत्‍ति- माना सदिशों `veca,vecb` व `vecc` को क्रमशः `vec(OA), vec(AB)` व `vec(BC)` द्वारा व्यक्त‌ किया गया है।

अतः `vec(OA)=veca,vec(AB)=vecb` व `vec(BC)=vecc` है।
त्रिभुज OAB व OBC में सदिश योग के त्रिभुज नियम से
`vec(OB)=vec(OA)+vec(AB)`
`vec(OB)=veca+vecb`
और `vec(OC)=vec(OB)+vec(BC)`
`=(veca+vecb)+vecc`…..1
इसी प्रकार त्रिभुज व OAC में सदिश योग का त्रिभुज नियम
`vec(AC)=vec(AB)+vec(BC)=vecb+vecc`
और `vec(OC)=vec(OA)+vec(AC)`
`=veca+(vecb+vecc)`…………2
अतः समीकरण 1 तथा 2 से
`(veca+vecb)+vecc=veca+(vecb+vecc)`