गणितीय विधि का उपयोग करते हुए एक समान त्वरित गति के लिए शुद्ध गतिक समीकरणों की व्युत्पत्ति कीजिए |

Explanation

गणितीय विधि - एक कण नियत त्वरण से एक विमीय गति क्र रहा है| समय `t_(1)` पर कण का वेग `v_(1)` और स्थिति `x_(1)` तथा समय `t_(2)` पर कण का वेग `v_(2)` और स्तिथि `x_(2)`है| तब त्वरण की परिभाषा से
`a=(v_(2)-v_(1))/(t_(2)-t_(1))`
`rArr (v_(2)-v_(1)) =a(t_(2)-t_(1))`
`rArr v_(2) =v_(1) + a(t_(2)-t_(1))`............(1)
यदि `t_(1)=0` पर `v_(1)=u` तथा `t_(*2) =t` पर `v_(2) =v` हो तो
`v = u+at`...........(2)
यह समान त्वरित गति की प्रथम समीकरण है|
औसत वेग के परिणाम से
`v_(av) =(v_(1) +v_(2))/2`
समीकरण (1) से `v_(2)` का मान रखने पर
`v_(av) =(v_(1) + v_(1) + a(t_(2)-t_(1)))/2`
`v_(av) =v_(1) + 1/2a(t_(2)-t_(1))`.........(3)
परन्तु `v_(av) =(x_(2)-x_(1))/(t_(2)-t_(1))`
`therefore (x_(2)-x_(1))/(t_(2)-t_(1)) =v_(1) +1/2 a(t_(2)-t_(1))`
`therefore (x_(2)-x_(1))/(t_(2)-t_(1)) =v_(1) +1/2a(t_(2)-t_(1))`
`rArr x_(2) =x_(1) + v_(1)(t_(2)-t_(1)) + 1/2a(t_(2)-t_(1))^(2)`.......(4)
यदि `t_(1)=0` पर `v_(1)=u, x_(1) =x_(0)` तथा `t_(2) =t` पर `x_(2)=x` लेने पर
`x=x_(0) + ut + 1/2 at^(2)`.....(5)
या `x-x_(0) =ut + 1/2 at^(2)`
यदि `x-x-(0)=s` हो तो
`s=ut + 1/2 at^(2)`........(6)
यह सम्मान त्वरित गति की द्वितीय समीकरण है|
गति के प्रथम समीकरण `v=u+at` लेने पर इसका दोनों तरफ वर्ग करने पर
`v^(2) =(u+ at)^(2)`
`rArr v^(2) =u^(2) + a^(2)t^(2) + 2uat`
`v^(2) =u^(2) + 2a(ut + 1/2 at^(2))`
परन्तु गति के द्वितीय समीकरण से
`s=ut + 1/2 at^(2)` होता है|
`therefore v^(2) =u^(2) + 2as`.........(7)
यह समान त्वरित गति का तृतीय समीकरण है|